Enunciado

Calcule a integral ∫ 0 π 2 θ 2     . s e n   2 θ   d θ   Algumas integrais não requerem integração por partes.

Passo 1

O enunciado pede que para resolvermos essa integral e afirma que nem todas as integrais são calculadas por meio de integração por partes. Nessa questão usaremos integração tabular, que é um caso de repetição da integração por partes.

Apesar de se tratar de uma integral definida iremos, inicialmente, resolver como se fosse indefinida para facilitar o cálculo e depois aplicar a integral definida.

Passo 2

Separamos ∫ θ 2     . s e n   2 θ   d θ em f(x) = θ 2     e g(x) =   s e n   2 θ , e seguida montamos a tabela:

f(X) e suas derivadas g(x) e suas integrais

Para integrar g(x) usamos a fórmula: ∫ s e n   k . x d x =   - c o s ⁡ ( k . x ) k   , e

∫ c o s   k . x d x =   s e n ⁡ ( k . x ) k     sendo “k” uma constante.

Depois multiplicamos as funções ligadas e combinamos elas de acordo com os sinais das operações indicadas.

∫ θ 2     . s e n   2 θ   d θ = θ 2     - 1 2 . cos ⁡ 2 θ - 2 θ . - 1 4 . sen ⁡ 2 θ + 2 1 8 . cos ⁡ 2 θ  

= - θ 2     2 . cos ⁡ 2 θ + . θ 2 . sen ⁡ 2 θ + 1 4 . cos ⁡ 2 θ

Passo 3

Aplicar a integral definida no resultado

∫ 0 π 2 θ 2     . s e n   2 θ   d θ   = - θ 2     2 . cos ⁡ 2 θ + θ 2 . sen ⁡ 2 θ + 1 4 . cos ⁡ 2 θ 0 π 2

= - π 2 2     2 . cos ⁡ 2 . π 2 + . π 2 2 . sen ⁡ 2 . π 2 + 1 4 . cos ⁡ 2 . π 2 - - 0 2     2 . cos ⁡ 20 + 0 2 . sen ⁡ 2.0 + 1 4 . cos ⁡ 2.0

= π 2     8 - 1 4 - 1 4

= π 2     8 - 1 4 - 1 4

= π 2     8 - 2 4

= π 2     8 - 1 2

= π 2     - 4 8

Resposta

∫ 0 π 2 θ 2     . s e n   2 θ   d θ   = π 2     - 4 8

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