Enunciado

Determine a área das região no primeiro quadrante , delimitada pelas retas

y = x   e x = 2    

A curva y = 1 x 2   e o eixo x

Passo 1

Perceba que inicialmente esboçar o gráfico para identificar qual a função que está acima e qual está abaixo, parece uma boa ideia. Já que pela definição

A = ∫ a b f x - g x d x

Ou seja, área da região entre as curvas, é a integral da função de cima f ( x ) menos a função de baixo g x .

Passo 2

Esboçando o gráfico da função, seja por um software, ou substituindo alguns valores em cada umas das funções para obter pontos, teremos um gráfico como esse ou parecido,

Onde, pelo que podemos ver em parte de 0 até 1 y = x     é a função que está por cima , y = 0   é a função que está por baixo e a parte hachurada é região que desejamos calcular a área. Porém a partir de   1 até 2 , q isso muda e y = 1 x 2   é a função que está por cima e     y = 0     é a função que está por baixo.

Mas podemos nos perguntar e a função x = 2 , onde ela entra? Nesse exemplo essa reta somente tem a função de delimitar a região que queremos calcular a área.

Passo 3

Como pudemos perceber esse gráfico, é um pouco diferente. Sendo assim, para definirmos a “cara” da integral precisamos definir quais os intervalos de integração e qual função que será considerada em cada um delas.

Para isso, vamos olhar para o gráfico das funções e ver os pontos estratégicos que facilitem nosso trabalho. Perceba que 0 até 1 temos 2 funções, uma abaixo e outra acima, já de   1 até 2 temos outras 2 funções diferentes, uma abaixo e outra acima. Dessa maneira teremos que

Quando x = 0 teremos que , ∫ 0 1 x - 0 d x + ∫ 1 2 1 x 2 - 0   d x

Passo 4

Já que já encontramos a “cara” integral que para determinar a área, então vamos partir para os cálculos e ver quando essa integral vai dar. Mas para não nos confundirmos vamos calcular cada uma separadamente,

Calculando a integral 1

∫ 0 1 x - 0 d x = ∫ 0 1 x d x = x 2 2 ​ 0 1 = 1 4 4 - 0 4 4

Usando o Teorema Fundamental do Cálculo Parte II,

∫ 0 1 x - 0 d x = x 2 2 ​ 0 1 = 1 2 2 - 0 2 2 = 1 2 - 0 = 1 2

Logo a integral 1

∫ 0 1 x - 0 d x = 1 2

Calculando a integral 2

∫ 1 2 1 x 2 - 0   d x = ∫ 1 2 1 x 2   d x

Usando o fato de 1 x 2 = x - 2

∫ 1 2 1 x 2   d x = ∫ 1 2 x - 2   d x = x - 1 - 1 ​ 1 2 = - 1 x ​ 1 2

Usando o Teorema Fundamental do Cálculo Parte II,

∫ 1 2 1 x 2   d x = - 1 x ​ 1 2 = - 1 2 - 1 1 = - 1 2 - 1 = - - 1 2 = 1 2

Logo a integral 2

∫ 1 2 1 x 2   d x = 1 2

Portanto,

∫ 0 1 x - 0 d x + ∫ 1 2 1 x 2 - 0   d x = 1 2 + 1 2 = 2 . 1 2 = 1

Resposta

Área da região entre y = x   , y = 1 x 2 , x = 2 e o eixo x   quando é igual 1 .

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Calcule a área da intersecção das região limitada pelas curvas dadas em coordenadas polares b )ρ = sin ⁡ θeρ = 1 - cos ⁡ θ
Ache o centroide da região do exercício 99.
A densidade linear de uma barra com 3m de comprimento num ponto a x m de uma extremidade é k e - 3 xk g / m . Encontre a massa e o centro de massa da barra.
Ache a área da região limitada pelo laço da curva x 2 = y 4( 1 - y 2 ) .
Ache o centro de massa de uma barra com 4m , se a densidade linear num ponto a xm do extremo esquerdo for 9 + x 2k g / m .