Enunciado

A densidade linear de uma barra com 3   m de comprimento num ponto a x m de uma extremidade é k e - 3 x   k g / m . Encontre a massa e o centro de massa da barra.

Passo 1

A questão fornece a densidade linear ρ = k e - 3 x de uma barra de 3 m de comprimento e pede para acharmos sua massa e seu centro de massa. A massa da barra é dada pela integral

M = ∫ ρ x   d x

Enquanto o centro de massa é

x - = 1 M ∫ x ρ x   d x

Passo 2

Usando a fórmula apresentada, a massa será dada por

M = ∫ 0 3 k e - 3 x d x

Fazendo a integral:

M = - k 3 e - 3 x 0 3 = - k 3 e - 9 - 1

Portanto,

M = k 3 1 - 1 e 9

Passo 3

Para o centro de massa, temos que

M x - = ∫ 0 3 k x e - 3 x   d x

Para resolver essa integral precisamos lembrar de integração por partes:

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

Assim, chamando u = k x e d v = e - 3 x d x , temos que

d u = k   d x         e           v = - 1 3 e - 3 x

Portanto,

M x - = - k x 3 e - 3 x 0 3 + 1 3 ∫ 0 3 k e - 3 x   d x

Note que a integral que sobra já foi feita e é exatamente a massa da barra! Assim,

M x - = - k e - 9 + 1 3 k 3 1 - 1 e 9 = - k e 9 + k 9 - 1 9 k e 9 = - 10 k 9 e 9 + k 9 = k 9 1 - 10 e 9

Logo,

k 3 1 - 1 e 9 x - =   k 9 1 - 10 e 9 ⇒ e 9 - 1 x - = 1 3 ( e 9 - 10 )

Portanto,

x - = e 9 - 10 3   ( e 9 - 1 )

Resposta

M = k 3 1 - 1 e 9           e           x - = e 9 - 10 3   ( e 9 - 1 )

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