Determine a área da região sombreada.

Passo 1

Para determinar a área da região sombreada de y = f ( x ) precisamos primeiramente definir o intervalo da função f . Temos que ela é delimitada por x = π e se inicia quando y = 2 , ou seja:

f x = 2 ⇒   1 + cos ⁡ x = 2 ⇒ cos ⁡ x = 1 ⇒ x = 0

Logo, temos o seguinte intervalo [ 0 , π ] .

Passo 2

Agora devemos integrar f e substituir os limites de integração. Relembrando que de forma genérica ele é feito da seguinte maneira:

∫ a b f x d x = F b - F ( a )

Ou seja, após integrar de forma genérica você irá substituir os limites de integração ( a e b) nesse resultado obtido, respeitando a ordem de o limite superior aplicado na função menos o limite inferior aplicado na função.

Assim:

∫ 0 π 1 + cos ⁡ x d x = x + s e n   x π 0 = π + 0 - 0 = π

Passo 3

Por fim, a área total é obtida pela adição dos valores absolutos da integral calculada. Logo:

A = π

Resposta

π

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