Enunciado

Determine a área da superfície gerada pela rotação da curva em torno do eixo indicado.

y = x ,           3 4 ≤ x ≤ 15 4 ;       e i x o   x  

Passo 1

Por definição temos que se a função f x ≥ 0   é continuamente derivável em [ a , b ] , a área da superfície gerada pela rotação da curva y = f ( x ) em torno do eixo x é:

S = ∫ a b 2 π f x 1 + f ' x 2   d x

Assim, temos que:

S = ∫ 3 4 15 4 2 π x 1 + 1 2 x 2   d x = 2 π ∫ 3 4 15 4 ( x ) 1 + 1 4 x   d x =

= 2 π ∫ 3 4 15 4 x 4 x + 1 4 x   d x = 2 π ∫ 3 4 15 4 x 4 x + 1 2 x = π ∫ 3 4 15 4   4 x + 1   d x

Passo 2

Para calcular essa integral vamos utilizar o método da substituição. Lembre-se que a integração por substituição consiste em fazer uma troca de uma parte de uma função f ( x ) por uma variável simples ( u ) e que resulte em um d u = f ’ ( x ) conveniente que irá possibilitar a integração, geralmente esse resultado é parte de outra função contida no integrando. Após integrar, você deve substituir a variável simples pela função que você a usou para substituir.

u = 4 x + 1                         d u = 4   d x ⇒ 1 4 d u = d x

Passo 3

Aplicando a substituição e integrando, temos:

π 4 ∫ 3 4 15 4   u 1 2   d x = π 4 u 3 2 3 2 15 4 3 4     = π 6 u 3 2 15 4 3 4  

Lembre-se que a integração de um polinômio é dada por:

∫ x n   d x = x n + 1 n + 1

Passo 4

Substituindo u pela função que atribuímos, temos:

π 6 u 3 2 15 4 3 4   = π 6 ( 4 x + 1 ) 3 2 15 4 3 4  

Passo 5

Por fim, aplicamos os limites de integração e calculamos a área:

S =   π 6 ( 4 x + 1 ) 3 2 15 4 3 4 = π 6 15 + 1 3 2 - 3 + 1 3 2 = π 6 16 3 - 4 3 =

= π 6 ( 16 × 4 ) - ( 4 × 2 ) = π 6 56 = 28 π 3

Relembrando que de forma genérica a aplicação dos limites de integração ele é feito da seguinte maneira:

∫ a b f x d x = F b - F ( a )

Ou seja, após integrar de forma genérica você irá substituir os limites de integração ( a e b) nesse resultado obtido, respeitando a ordem de o limite superior aplicado na função menos o limite inferior aplicado na função.

Resposta

28 π 3

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