Enunciado

Determine a área da superfície gerada pela rotação da curva em torno do eixo indicado.

y = x 3 9 ,     0 ≤ x ≤ 2 ;       e i x o   x  

Passo 1

Por definição temos que se a função f x ≥ 0   é continuamente derivável em [ a , b ] , a área da superfície gerada pela rotação da curva y = f ( x ) em torno do eixo x é:

S = ∫ a b 2 π f x 1 + f ' x 2   d x

Assim, temos que:

S = ∫ 0 2 2 π x 3 9 1 + 3 x 2 9 2   d x = 2 π 9 ∫ 0 2 x 3 1 + x 4 9   d x

Passo 2

Para calcular essa integral vamos utilizar o método da substituição. Lembre-se que a integração por substituição consiste em fazer uma troca de uma parte de uma função f ( x ) por uma variável simples ( u ) e que resulte em um d u = f ’ ( x ) conveniente que irá possibilitar a integração, geralmente esse resultado é parte de outra função contida no integrando. Após integrar, você deve substituir a variável simples pela função que você a usou para substituir.

u = 1 + x 4 9                         d u = 4 x 3 9   d x ⇒ 9 4 d u = x 3 d x

Passo 3

Aplicando a substituição e integrando, temos:

2 π 9 × 9 4 ∫ 0 2 u 1 2   d u = π 2   u 3 2 3 2 2 0 = π 2 × 2 3 u 3 2 2 0 = π 3 ( u 3 2 ) 2 0

Lembre-se que a integração de um polinômio é dada por:

∫ x n   d x = x n + 1 n + 1

Passo 4

Substituindo u pela função que atribuímos, temos:

π 3 u 3 2 2 0 = π 3 1 + x 4 9 3 2   2 0

Passo 5

Por fim, aplicamos os limites de integração e calculamos a área:

S =   π 3 1 + x 4 9 3 2   2 0 = π 3 1 + 16 9 3 2 - 1 3 2 = π 3 25 9 3 - 1 =

= π 3 25 9 × 5 3 - 1 = π 3 125 27 - 1 = π 3 98 27 = 98 π 81

Relembrando que de forma genérica a aplicação dos limites de integração ele é feito da seguinte maneira:

∫ a b f x d x = F b - F ( a )

Ou seja, após integrar de forma genérica você irá substituir os limites de integração ( a e b) nesse resultado obtido, respeitando a ordem de o limite superior aplicado na função menos o limite inferior aplicado na função.

Resposta

98 π 81

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