Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 15.6 - Ex. 11
Determine a área da superfície.
A parte da esfera que está dentro do cilindro .
Passo 1
Primeiro, vamos determinar a região de integração, a qual está limitada pelo cilindro. Escrevendo o cilindro em coordenadas polares, temos:
Então, a nossa região é limitada por . Além disto, o valor de varia de (quando , , o que implica na metade da circunferência!).
Agora, vamos lembrar primeiramente como calculamos a área de uma superfície. Para isto, basta resolver a seguinte integral:
Portanto, precisamos calcular primeiramente as derivadas parciais de em função de e de para só depois resolvermos as integrais.
Passo 2
Para escrevermos a integral da área de superfície, vamos determinar primeiramente as derivadas parciais de . Para isto, precisaremos derivar implicitamente a função . Sendo assim
Portanto, devemos resolver a seguinte integral:
Passo 3
Conforme já foi discutido no passo 1, os limites de integração, em coordenadas polares, são:
Agora, passando a integral da área de superfície para coordenadas polares, basta resolvermos:
Resposta
Exercícios de Livros Relacionados
Ver Mais
Ver Mais
Ver Mais
Ver Mais
Ver Mais