Enunciado

Determine a área da superfície.

A parte da esfera x 2 + y 2 + z 2 = a 2 que está dentro do cilindro x 2 + y 2 = a x .

Passo 1

Primeiro, vamos determinar a região D de integração, a qual está limitada pelo cilindro. Escrevendo o cilindro em coordenadas polares, temos:

r 2 = a ⋅ r ⋅ cos ⁡ θ

r = a ⋅ cos ⁡ θ

Então, a nossa região é limitada por 0 ≤ r ≤ a cos ⁡ θ . Além disto, o valor de θ varia de 0 ≤ θ ≤ π (quando θ = π 2 , cos ⁡ θ = 0 , o que implica na metade da circunferência!).

Agora, vamos lembrar primeiramente como calculamos a área de uma superfície. Para isto, basta resolver a seguinte integral:

A S = ∬ D 1 + ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 d A

Portanto, precisamos calcular primeiramente as derivadas parciais de z em função de x e de y para só depois resolvermos as integrais.

Passo 2

Para escrevermos a integral da área de superfície, vamos determinar primeiramente as derivadas parciais de z . Para isto, precisaremos derivar implicitamente a função F x , y , z = x 2 + y 2 + z 2 - a 2 . Sendo assim

∂ z ∂ x = ∂ F ∂ x ∂ F ∂ z = x z

∂ z ∂ y = ∂ F ∂ y ∂ F ∂ z = y z

Portanto, devemos resolver a seguinte integral:

A S = ∬ D 1 + x z 2 + y z 2 d A = ∬ D 1 + x 2 + y 2 z 2 d A

A S = ∬ D 1 + x 2 + y 2 a 2 - x 2 - y 2 d A

A S = ∬ D a 2 a 2 - x 2 - y 2 d A

Passo 3

Conforme já foi discutido no passo 1, os limites de integração, em coordenadas polares, são:

0 ≤ θ ≤ π

0 ≤ r ≤ a cos ⁡ θ

Agora, passando a integral da área de superfície para coordenadas polares, basta resolvermos:

A S = ∫ 0 π ∫ 0 acos ⁡ θ a ⋅ r a 2 - r 2 d r d θ

A S = ∫ 0 π - a a 2 - r 2 0 acos ⁡ θ d θ

A S = ∫ 0 π - a a 2 1 - cos 2 ⁡ θ + a 2 d θ

A S = ∫ 0 π - a 2 sen ⁡ θ + a 2 d θ

A S = a 2 cos ⁡ θ + a 2 θ 0 π

A S = a 2 π - 2 a 2

Resposta

A S = a 2 π - 2 a 2

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