Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 15.3 - Ex. 16
Defina as integrais iteradas para ambas as ordens de integração. Então, calcule a integral dupla usando a ordem mais fácil e explique por que ela é mais fácil
D é limitada por , , .
Passo 1
Temos um problema de integração em uma região geral. Nesta questão, precisamos esboçar a nossa região como sendo tanto do tipo 1 quanto do tipo 2.
Uma região do tipo 1 é uma região limitada acima e abaixo por uma curva, além disto, é limitada lateralmente por retas verticais. Portanto, o seu domínio é:
Já uma região do tipo 2 é o contrário. É uma região limitada lateralmente por curvas, mas acima e abaixo por retas horizontais. Portanto, temos o seguinte domínio:
Vamos começar por esboçar o gráfico da nossa região. Posteriormente, vamos escrever cada uma das regiões.
Passo 2
Primeiramente, vamos esboçar a nossa região. Portanto,
Passo 3
Agora podemos começar a escrever a nossa região. Como a região do tipo I é limitada acima por uma curva e abaixo por outra, temos um problema para a nossa região. Isto decorre do fato de termos 2 curvas distintas na parte inferior da região! Por causa disto, temos as seguintes restrições:
Portanto, a nossa integral é:
Passo 4
Vamos escrever agora a nossa região como uma região do tipo II. Portanto, temos os seguintes limites da região:
Portanto, a nossa integral é:
Passo 5
Observem que temos uma integral muito difícil de ser realizada quando se integra inicialmente a variável . Portanto, precisamos integrar utilizando a região descrita como do tipo II. Desta forma, resolvendo-a, temos:
Resposta
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