Enunciado

Defina as integrais iteradas para ambas as ordens de integração. Então, calcule a integral dupla usando a ordem mais fácil e explique por que ela é mais fácil

∬ D y 2 e x y d A

D é limitada por y = x , y = 4 , x = 0 .

Passo 1

Temos um problema de integração em uma região geral. Nesta questão, precisamos esboçar a nossa região como sendo tanto do tipo 1 quanto do tipo 2.

Uma região do tipo 1 é uma região limitada acima e abaixo por uma curva, além disto, é limitada lateralmente por retas verticais. Portanto, o seu domínio é:

D = x , y x 0 ≤ x ≤ x 1 ,   g x ≤ y ≤ f x }

Já uma região do tipo 2 é o contrário. É uma região limitada lateralmente por curvas, mas acima e abaixo por retas horizontais. Portanto, temos o seguinte domínio:

D = x , y y 0 ≤ y ≤ y 1 ,   g y ≤ x ≤ f y }

Vamos começar por esboçar o gráfico da nossa região. Posteriormente, vamos escrever cada uma das regiões.

Passo 2

Primeiramente, vamos esboçar a nossa região. Portanto,

Passo 3

Agora podemos começar a escrever a nossa região. Como a região do tipo I é limitada acima por uma curva e abaixo por outra, temos um problema para a nossa região. Isto decorre do fato de termos 2 curvas distintas na parte inferior da região! Por causa disto, temos as seguintes restrições:

0 ≤ x ≤ 4

x ≤ y ≤ 4

Portanto, a nossa integral é:

∬ D y 2 e x y d A = ∫ 0 4 ∫ x 4 y 2 e x y d y d x

Passo 4

Vamos escrever agora a nossa região como uma região do tipo II. Portanto, temos os seguintes limites da região:

0 ≤ y ≤ 4

0 ≤ x ≤ y

Portanto, a nossa integral é:

∬ D y 2 e x y d A = ∫ 0 4 ∫ 0 y y 2 e x y d x d y

Passo 5

Observem que temos uma integral muito difícil de ser realizada quando se integra inicialmente a variável y . Portanto, precisamos integrar utilizando a região D descrita como do tipo II. Desta forma, resolvendo-a, temos:

∫ 0 4 ∫ 0 y y 2 e x y d x d y = ∫ 0 4 y 2 e x y y 0 y d y

∫ 0 4 y 2 ⋅ e y 2 y - 1 y d y

∫ 0 4 y e y 2 - y d y

e y 2 2 - y 2 2 0 4 = e 16 - 16 2 - 1 2 - 0

e 16 - 17 2

Resposta

∬ D y 2 e x y d A = e 16 - 17 2

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