Enunciado

Determine a área da superfície.

A parte da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4 que está acima do plano z = 1 .

Passo 1

Pela equação 3 do capítulo, temos que

A S = ∬ D 1 + ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 d A

Toda transformação de sistema de coordenada, requer que calculemos o jacobiano, definido como

J = ∂ x , y , z ∂ u , v , w = d e t ∂ x ∂ u ∂ y ∂ u ∂ z ∂ u ∂ x ∂ v ∂ y ∂ v ∂ z ∂ v ∂ x ∂ w ∂ y ∂ w ∂ z ∂ w

Onde u , v , w são as coordenadas do novo sistema.

Passo 2

A equação da esfera pode ser reescrita como

z = 4 - x 2 - y 2

Assim temos que

∂ z ∂ x = - x 4 - x 2 - y 2

e

∂ z ∂ y = - y 4 - x 2 - y 2

Usando coordenadas cilindrícas podemos escrever

1 + ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 = 1 + x 2 4 - x 2 - y 2 + y 2 4 - x 2 - y 2 = 4 4 -   r 2

O Domínio é definido acima do plano z = 1 , ou seja

x 2 + y 2 + 1 2 = 4 → x 2 + y 2 = 3 → r M a x = 3

A S = ∫ 0 2 π ∫ 0 3 4 4 - r 2 r   d r   d θ

Onde o jacobiano em coordenadas cilíndricas é r .

A S = 2 π ∫ 0 3 2 r 4 - r 2 d r

Fazendo u = 4 - r 2 → d u = 2 r   d r

Logo temos

A S = 2 π ∫ 4 1 d u u = 4 π u 4 1 = 4 π  

Resposta

A S = 4 π

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