Enunciado

Determine a massa e o centro de massa da lâmina que ocupa a região D e tem função densidade ρ .

D = x ,   y   0 ≤ x ≤ 2   ,   - 1 ≤ y ≤ 1 }   ;                     ρ ( x ,   y ) = x y 2

Passo 1

Galera, primeiro vamos calcular a massa:

m = ∬ D   ρ ( x ,   y )   d A = ∫ 0 2 ∫ - 1 1 x y 2   d y   d x = ∫ 0 2 x   d x ∫ - 1 1 y 2   d y = x 2 2 0 2 y 3 3 - 1 1 = 2   .   2 3 = 4 3

Passo 2

Agora vamos calcular x - , pra saber qual é o centro de massa x - ,   y - :

x - = M y m

onde M y é o momento em relação ao eixo y , calculado da seguinte forma:

M y = ∬ D   x   ρ x ,   y   d A = ∫ 0 2 ∫ - 1 1 x 2 y 2   d y   d x = ∫ 0 2 x 2   d x ∫ - 1 1 y 2   d y = x 3 3 0 2 y 3 3 - 1 1 = 8 3   .   2 3 = 16 9

x - = M y m = 16 9 4 3 = 4 3

Passo 3

Show! Agora só falta calcular y - , mas primeiro, vamos calcular o momento M x em relação ao eixo x :

M x = ∬ D   y   ρ x ,   y   d A = ∫ 0 2 ∫ - 1 1 x y 3   d y   d x = ∫ 0 2 x   d x ∫ - 1 1 y 3   d y = x 2 2 0 2 y 4 4 - 1 1 = 2   .   0 = 0

y - = M x m = 0

Então,

x ,   - y - = 4 3 ,   0

Resposta

m = 4 3

x ,   - y - = 4 3 ,   0

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