Enunciado

Suponha que uma lâmina com densidade f ocupe a região D   do plano x y . Calcule a massa total m e as coordenadas x c ; y c do centro de massa de D .

D   é a região no primeiro quadrante, limitada pelas curvas y = x + x 2 ; y = 0 e x = 2 ;

Sendo:

f x , y = y 1 + x .

Passo 1

Eaeee, Turubom?? Vamos atrás de mais umas massas e centros de massa.

Seguinte, nesse aqui temos que desenhar as curvas para enxergar o que tamo fazendo e o que tamo buscando.

Então vai lá:

Chegou na mesma coisa aí?? Top.

Olha só, tenta perceber comigo que x ta limitado da seguinte forma:

0 ≤ x ≤ 2

Beleza? Agora o y , note que:

0 ≤ y ≤ x + x 2 = x 1 + x

Isso porquê saindo de algum ponto do eixo x entre 0 e 2, subindo no sentido positivo de y em algum momento a gente bate de frente com a parábola. Ta comigo?

Bom, então beleza vamos tentar achar a massa dessa criança:

m = ∬ D f x , y d x d y

Aplicando os limites que encontramos:

m = ∫ 0 2 ∫ 0 x 1 + x y 1 + x d y   d x

Bora, foco, força e fé:

m = ∫ 0 2 1 1 + x y 2 2 d x y = x 1 + x y = 0

Aplicando isso:

m = ∫ 0 2 1 1 + x x 1 + x 2 2 d x

Vamos dar uma ajeitada nisso; perceba que podemos simplificar isso tudo da seguinte forma:

m = ∫ 0 2 x 2 1 + x 2 d x

E agora então é só integrar:

m = 1 2 x 3 3 + x 4 4 x = 2 x = 0

E aí finalmente:

m = 10 3

Passo 2

Agora podemos encontrar as coordenadas do centro de massa desse rolê; lembrando que:

x c = ∬ D x f x , y d x d y m               e             y c = ∬ D y f x , y d x d y m

Vamos começar com x , e resolver essa integral aí:

∫ 0 2 ∫ 0 x x + 1 x y x + 1 d y d x

A primeira parte é igualzinho acabamos de fazer:

∫ 0 2 x x + 1 x 2 x + 1 2 2 d x

E então:

∫ 0 2 x 3 x + 1 2 d x

Tranquilo né? Agora a próxima:

x 5 10 + x 4 8 x = 2 x = 0

Portanto, nossa coordenada em x será:

x c = 2 5 10 + 2 4 8 m = 8   2 5 + 10   2 4 10 m = 2 4 80 ( 16 + 10 ) 10 / 3 = 78 50 = 39 25

Passo 3

Para terminar só falta a coordenada em y . Só vamo.

Tudo o que precisamos fazer é calcular a integral:

∬ D y f x , y d x d y

Teremos:

∫ 0 2 ∫ 0 x x + 1 y 2 x + 1 d y   d x

Até aqui bem parecido com o que já fizemos:

∫ 0 2 1 x + 1 x 3 x + 1 3 3 d x

E então:

1 3 ∫ 0 2 x 3 x + 1 2 d x

Dessa vez vamos ter que abrir o produto notável:

1 3 ∫ 0 2 x 5 + 2 x 4 + x 3 d x

Tomando cuidado é só integrar:

1 3 x 6 6 + 2 x 5 5 + x 4 4 x = 2 x = 0

Finalmente encontramos:

1 3 2 6 2   .   3 + 2   . 2 5 5 + 2 4 2 2 = 2 2 3 2 3 3 + 2 4 5 + 1 = 2 2 103 45 = 412 45

Mas carmeia que ainda temos que dividir isso pela massa

y c = 412 / 45 10 / 3 = 412 15 1 10 = 206 75  

E isso é tudo!! See u.

Resposta

Concluindo, a massa do sistema é m = 10 3 ; enquanto que as coordenadas do centro de massa são:

35 25 ; 206 75 .

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2. Seja B um compacto com fronteira de conteúdo nulo e com interior nãovazio e seja δ (x, y) contínua em B. Seja α ≠ 0 um real dado. Considere amudança de coordenadas x , y = s u + t v Onde u = cos ⁡