Enunciado

Determine a massa e o centro de massa da lâmina que ocupa a região D e tem função densidade ρ .

D = x ,   y   0 ≤ x ≤ a   ,   0 ≤ y ≤ b }   ;                     ρ ( x ,   y ) = c x y

Passo 1

Galera, primeiro vamos calcular a massa:

m = ∬ D   ρ ( x ,   y )   d A = ∫ 0 a ∫ 0 b c x y   d y   d x = ∫ 0 a c x   d x ∫ 0 b y   d y = c x 2 2 0 a y 2 2 0 b = c   . a 2 2   . b 2 2 = a 2 b 2 c 4  

Passo 2

Agora vamos calcular x - , pra saber qual é o centro de massa x - ,   y - :

x - = M y m

onde M y é o momento em relação ao eixo y , calculado da seguinte forma:

M y = ∬ D   x   ρ x ,   y   d A = ∫ 0 a ∫ 0 b c x 2 y   d y   d x = ∫ 0 a c x 2   d x ∫ 0 b y   d y = c x 3 3 0 a y 2 2 0 b = c   . a 3 3   . b 2 2 = a 3 b 2 c 6  

x - = M y m = a 3 b 2 c 6 a 2 b 2 c 4 = 2 a 3

Passo 3

Show! Agora só falta calcular y - , mas primeiro, vamos calcular o momento M x em relação ao eixo x :

M x = ∬ D   y   ρ x ,   y   d A = ∫ 0 a ∫ 0 b c x y 2   d y   d x = ∫ 0 a c x   d x ∫ 0 b y 2   d y = c x 2 2 0 a y 3 3 0 b = c   . a 2 2   . b 3 3 = a 2 b 3 c 6

y - = M x m = a 2 b 3 c 6 a 2 b 2 c 4 = 2 b 3

Então,

x ,   - y - = 2 a 3 , 2 b 3

Resposta

m = a 2 b 2 c 4

x ,   - y - = 2 a 3 , 2 b 3

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