Enunciado

Uma lamina tem a forma da região plana R delimitada pelas curvas x   =   y 2   e   x = 4 . Sua densidade de massa é constante. Determinar:

a) O momento de inercia da lamina em relação ao eixo x

b) O momento de inercia da lamina em relação ao eixo y

Passo 1

Para resolvermos questões relacionadas a centro de massa e momento de inercia precisamos da seguinte teoria :

Consideramos um sistema cuja massa total esta distribuída numa região do plano e não apenas num conjunto formado por um número finito de pontos, os conceitos de massa, centro de massa e momento são definidos por meio de integrais duplas. Por exemplo, consideremos uma lâmina fina tendo a forma de uma região D do plano e assumamos que a massa está distruibuida sobre essa lâmina com densidade (massa por unidade de área ) conhecida, isto é, existe uma função positiva f definida em D tal que f ( x , y ) representa a massa por unidade de área em x , y .

Para o calculo do momento de inercia da lâmina, segue que

Se L é uma reta no plano da lâmina D, seja δ ( x , y ) a distancia do ponto (x,y) em D à reta L. Defini-se momento de inercia por

I =   ∬ D δ 2 ( x , y )   f x , y d x d y

Onde f ( x , y )   é a densidade em cada ponto

Passo 2

a) O momento de inercia em relação ao eixo x é dado por:

I x =   ∬ D y 2   f x , y d x d y

Nossa região D é da forma:

Portanto

y 2 ≤ x ≤ 4

- 2 ≤ y ≤ 2

Segue que o momento de inercia será:

I x = ∫ - 2 2 ∫ y 2 4 y 2 k d x d y = 128 k 15

b) Utilizaremos o mesmo processo acima para o momento de inercia em relação ao eixo y

I y = ∫ - 2 2 ∫ y 2 4 x 2 k d x d y = 512 k 7

Resposta

I x = 128 k 15

I y = 512 k 7

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Uma lamina plana tem a forma da região delimitada pelas curvas y=x 2 + 1ey = x + 3 . Sua densidade de massa no ponto P(x,y) é proporcional à distancia desse ponto ao eixo dos x. Calcular:a) a massa da
Calcule o centro de massa
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