Uma carga elétrica é distribuída sobre o retângulo 1 ≤ x ≤ 3   ,     0 ≤ y ≤ 2   , de modo que a densidade de carga em x ,   y é σ x ,   y = 2 x y + y 2 (medida em coulombs por metro quadrado). Determine a carga total no retângulo.

Passo 1

Galera, vamos lembrar que a integral que representa a carga elétrica total é:

Q = ∬ D   σ ( x ,   y )   d A

onde D é a região de integração. Nesse caso, D é o retângulo 1 ≤ x ≤ 3   ,     0 ≤ y ≤ 2 , e a integral vai ficar assim:

Q = ∫ 1 3 ∫ 0 2 2 x y + y 2   d y   d x

Passo 2

Agora mãos à massa pra resolver a integral dupla!

Substituindo a expressão da densidade, nossa integral será:

Q =   ∫ 1 3 ∫ 0 2 2 x y + y 2   d y   d x  

Agora fazemos por partes. De dentro para fora. Resolvendo a integral de dentro, temos:

Q = ∫ 1 3 2 x y 2 2 + y 3 3 0 2   d x

Substituindo os limites de integração:

Q = ∫ 1 3 4 x + 8 3   d x

Resolvendo a integral, temos:

Q = 4 x 2 2 + 8 3 x 1 3

Avaliando nos limites de integração, temos:

Q = 18 + 8 - 2 + 8 3

Resolvendo a expressão, temos:

Q = 26 - 14 3 = 64 3

Com isso, nossa carga total será:

Q = 64 3   C

Não se esqueça da unidade!

Resposta

Q = 64 3 C

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