Enunciado

Calcular a massa de uma lâmina com a forma de um círculo de raio 3 cm, se a sua densidade de massa em um ponto P(x,y) é proporcional ao quadrado da distancia desse ponto ao centro do círculo acrescida de uma unidade.

Passo 1

Para resolvermos questões relacionadas a centro de massa e momento de inercia precisamos da seguinte teoria :

Consideramos um sistema cuja massa total esta distribuída numa região do plano e não apenas num conjunto formado por um número finito de pontos, os conceitos de massa, centro de massa e momento são definidos por meio de integrais duplas. Por exemplo, consideremos uma lâmina fina tendo a forma de uma região D do plano e assumamos que a massa está distruibuida sobre essa lâmina com densidade (massa por unidade de área ) conhecida, isto é, existe uma função positiva f definida em D tal que f ( x , y ) representa a massa por unidade de área em x , y .

Podemos calcular a massa total de D por

m   =   ∬ D f x , y d x d y

Passo 2

Nossa região tem a seguinte forma:

Portanto o nosso intervalo será

- 3 ≤ x ≤ 3

- 9 - x 2 ≤ y ≤ 9 - x 2  

A densidade nos foi dita que é o quadrado da distancia mais uma unidade

f x , y = k ( x 2 + y 2 + 1 )

A massa que queremos é calculada por:

m =   ∫ - 3 3 ∫ - 9 - x 2   9 - x 2   k ( x 2 + y 2 + 1 ) d y d x = 99 π k 2

Resposta

m = 99 π k 2

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