Enunciado

Determine as áreas das regiões compreendidas entre as retas e as curvas

y = 7 - 2 x 2

E

y = x 2 + 4

Passo 1

Para podermos determinar a área de uma região compreendida entre duas curvas, precisamos obter um esboço do gráfico. Com ele, poderemos determinar qual o nosso intervalo de integração, qual curva está acima da outra e se há uma mudança neste comportamento. Sendo assim, vamos utilizar recursos gráficos para ajudar nesta visualização. Descoberto o intervalo a , b e que f x ≥ g ( x ) ao longo deste intervalo, então a área entre as curvas f ( x ) e g ( x ) é dada por:

A = ∫ a b f x - g x   d x

Desta forma, temos que identificar em cada caso quem é f ( x ) , g ( x ) e o intervalo a , b .

Passo 2

Vamos começar por obter o esboço das curvas.

A nossa região está limitada acima pela função f x = 7 - 2 x 2 , abaixo por g x = x 2 + 4 e o intervalo de integração é x A , x B em que x A e x B são as coordenadas x dos pontos A e B, pontos de interseção de f ( x ) e g ( x ) . Para calcular estas coordenadas basta igualar as duas funções e resolver a equação. Desta forma, temos:

7 - 2 x 2 = x 2 + 4

3 x 2 = 3

x 2 = 1

Portanto, as únicas soluções reais são temos x 1 = - 1 e x 2 = 1 . Logo, temos que x A = - 1 e x B = 1 . Portanto, a nossa integral é:

A = ∫ - 1 1 7 - 2 x 2 - ( x 2 + 4 )   d x

A = ∫ - 1 1 - 3 x 2 + 3   d x

Passo 3

Vamos resolver agora nossa integral.

A = ∫ - 1 1 - 3 x 2 + 3   d x

A = - x 3 + 3 x - 1 1

A = - 1 + 3 - 1 - 3

A = 4

Resposta

A = 4

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determine as áreas das regiões compreendidas entre as retas e as curvas nos Exercícios 73-80.79. x = y 2 - 1ex = | y | 1 - y ² ²
Determine as áreas das regiões compreendidas entre as retas e as curvas nos Exercícios 73-80.77. x + y 2 = 0ex + 3 y 2 = 2
Determine as áreas das regiões compreendidas entre as retas e as curvas nos Exercícios 73-80.76. x - y 2 = 0ex + 2 y 2 = 3
Determine as áreas das regiões compreendidas entre as retas e as curvas nos Exercícios 63-72.69. y = x 4 - 4 x 2 + 4ey = x ² ²
Determine as áreas das regiões compreendidas entre as retas e as curvas nos Exercícios 63-72.71. y = | x |e5 y = x + 6 Quantos pontos de intersecção existem?