Enunciado

Determine o valor, ou valores, de c que satisfazem a equação:

f b - f a b - a = f ' ( c )

Que consta da conclusão do teorema de valor médio para

f x = ln ⁡ x - 1 ,       [ 2,4 ]

Passo 1

Primeiro, substituiremos os valores na fórmula de valor médio.

Em seguida, derivaremos a função dada e igualaremos ao valor encontrado no passo anterior.

Terminado isso, concluiremos os valores para os quais a equação é satisfeita.

Passo 2

Substituindo os valores do intervalo na função, temos:

f 2 = ln ⁡ 2 - 1 = 0

f 4 = ln ⁡ 4 - 1 = 1,0986

Substituindo na fórmula de valor médio:

f 4 - f 2 4 - 2

1,0986 - 0 2 = 0,5493

Passo 3

Resolvendo a derivada, temos:

f ' x = 1 x - 1

Para o valor médio teremos:

1 x - 1 = 0,5493

0,5493 x - 1 = 1

x - 1 = 1 0,5493

x = 1,8205 + 1 = 2,8205

Resposta

E m   c = 2,8205 ,   o   t e o r e m a   d o   v a l o r   m é d i o   s e   c o m p r o v a .

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