Determine as áreas totais das regiões sombreadas

Passo 1

Precisamos determinar a área dada em azul na figura da questão. Desta forma, se f x ≥ g ( x ) ao longo de um intervalo a , b , então a área entre as curvas f ( x ) e g ( x ) é dada por:

A = ∫ a b f x - g x   d x

Desta forma, temos que identificar em cada caso quem é f ( x ) , g ( x ) e o intervalo a , b .

Passo 2

Vamos começar por montar qual a integral que devemos calcular. A área que devemos calcular é entre a função f x = 3 sen ⁡ x 1 + cos ⁡ x e g ( x ) = 0 . O intervalo de integração é - π , 0 . Como a função g x ≥ f ( x ) para todo x pertencente ao intervalo de integração, a área da região em azul é dada por:

A = ∫ - π 0 0 - 3 sen ⁡ x 1 + cos ⁡ x   d x

A = - ∫ - π 0 3 sen ⁡ x 1 + cos ⁡ x   d x

Passo 3

Agora que definimos a integral para calcular a área da região, vamos resolvê-la. Para isto, vamos fazer uma mudança de variáveis. Se u = 1 + cos ⁡ x , d u = - sen ⁡ x d x . Modificando também os limites de integração, quando x = 0 ⟹ u = 2 , já quando   x = - π ⟹ u = 0 . Desta forma, temos:

A = - ∫ - π 0 3 sen ⁡ x 1 + cos ⁡ x   d x = ∫ 0 2 3 u   d u

A = ∫ 0 2 3 u   d u = 3 2 3 u 3 / 2 0 2

A = - 3 ⋅ 2 3 ⋅ 2 3 / 2 - 0

A = 2 5 / 2 = 4 2

Resposta

A = 4 2

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