Enunciado

Determine as áreas totais das regiões sombreadas

Passo 1

Precisamos determinar a área dada em azul na figura da questão. Desta forma, se f (x) >= g ( x ) ao longo de um intervalo [a , b] , então a área entre as curvas f ( x ) e g ( x ) é dada por:

A = int_a^b [f (x) - g (x)] d x

Desta forma, temos que identificar em cada caso quem é f ( x ) , g ( x ) e o intervalo [a , b] .

Passo 2

Vamos começar por montar qual a integral que devemos calcular. A área que devemos calcular é entre a função f (x) = 3 sen x sqrt(1 + cos x) e g ( x ) = 0 . O intervalo de integração é [- pi , 0] . Como a função g (x) >= f ( x ) para todo x pertencente ao intervalo de integração, a área da região em azul é dada por:

A = int_(- pi)^0 0 - 3 sen x sqrt(1 + cos x) d x

A = - int_(- pi)^0 3 sen x sqrt(1 + cos x) d x

Passo 3

Agora que definimos a integral para calcular a área da região, vamos resolvê-la. Para isto, vamos fazer uma mudança de variáveis. Se u = 1 + cos x , d u = - sen x d x . Modificando também os limites de integração, quando x = 0 ⟹ u = 2 , já quando x = - pi ⟹ u = 0 . Desta forma, temos:

A = - int_(- pi)^0 3 sen x sqrt(1 + cos x) d x = int_0^2 3 sqrt(u) d u

A = int_0^2 3 sqrt(u) d u = 3 ([(2)/(3) u^(3 // 2)]|_0^2

A = - 3 * (2)/(3) * 2^(3 // 2) - 0

A = 2^(5 // 2) = 4 sqrt(2)

Resposta

A = 4 sqrt(2)

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