Determine as áreas totais das regiões sombreadas

Passo 1

Precisamos determinar a área dada em azul na figura da questão. Desta forma, se f x ≥ g ( x ) ao longo de um intervalo a , b , então a área entre as curvas f ( x ) e g ( x ) é dada por:

A = ∫ a b f x - g x   d x

Desta forma, temos que identificar em cada caso quem é f ( x ) , g ( x ) e o intervalo a , b .

Passo 2

Vamos começar por montar qual a integral que devemos calcular. A área que devemos calcular é entre a função f x = π 2 cos ⁡ x sen ⁡ π + π sen ⁡ x e g ( x ) = 0 . Além disto, observe a mudança do comportamento das funções. Entre - π , - π / 2 , g x ≥ f ( x ) e entre o intervalo - π / 2   , 0 ocorre o contrário. Desta forma, a área da região em azul é dada por:

A = ∫ - π - π / 2 - π 2 cos ⁡ x sen ⁡ π + π sen ⁡ x d x + ∫ - π / 2 0 π 2 cos ⁡ x sen ⁡ π + π sen ⁡ x   d x

Observe que é necessário separar em uma soma de integrais devido à mudança no comportamento da imagem das funções.

Passo 3

Vamos agora aplicar uma propriedade bastante importante que facilitará e muito na resolução do nosso problema (e quem não quer facilidade!). Vocês conseguem observar a simetria da nossa função f ( x ) em torno da reta x = - π / 2   ? Por causa desta simetria, temos a seguinte relação:

∫ - π - π 2 - π 2 cos ⁡ x sen ⁡ π + π sen ⁡ x d x = ∫ - π 2 0 π 2 cos ⁡ x sen ⁡ π + π sen ⁡ x   d x  

Portanto, podemos escrever a nossa área através de apenas uma integral! Então, temos:

A = 2 ∫ - π / 2 0 π 2 cos ⁡ x sen ⁡ π + π sen ⁡ x   d x

Passo 4

Agora, enfim, precisamos resolver a nossa integral. Vamos fazer a mudança u = π + π sen ⁡ x . Consequentemente, d u = π cos ⁡ x d x . Além disto, vamos modificar os limites de integração. Portanto, quando x = 0   ⟹ u = π , já quando x = - π / 2   ⟹ u = 0 . Fazendo esta mudança, temos:

A = 2 ∫ - π / 2 0 π 2 cos ⁡ x sen ⁡ π + π sen ⁡ x   d x = ∫ 0 π sen ⁡ u   d u

A = ∫ 0 π sen ⁡ u   d u = - cos ⁡ u 0 π

A = - cos ⁡ π - - cos ⁡ 0

A = 1 + 1 = 2

Resposta

A = 2

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