Determine as áreas totais das regiões sombreadas

Passo 1

Precisamos determinar a área dada em cinza na figura da questão. Desta forma, se f x ≥ g ( x ) ao longo de um intervalo a , b , então a área entre as curvas f ( x ) e g ( x ) é dada por:

A = ∫ a b f x - g x   d x

Desta forma, temos que identificar em cada caso quem é f ( x ) , g ( x ) e o intervalo a , b .

Passo 2

Vamos começar por montar qual a integral que devemos calcular. A área que devemos calcular é entre a função f x = x 3 / 3 - x e g x = x / 3   . Além disto, observe que temos três intervalos com comportamentos distintos das funções. Entre - 2 , x 0 , f x ≥ g ( x ) , já entre x 0 , x f temos g x ≥ f ( x ) . Por fim, no intervalo x f , 3 , voltamos a ter f x ≥ g ( x ) . Desta forma, a área da região em cinza é dada por:

A = ∫ - 2 x 0 f x - g x   d x + ∫ x 0 x f g x - f x   d x + ∫ x f 3 f x - g x   d x

E como sabemos que

f x - g x = x 3 3 - x - x 3 = x 3 3 - 4 x 3

g x - f x = - x 3 3 + 4 x 3

Temos então

A = ∫ - 2 x 0 x 3 3 - 4 x 3 d x + ∫ x 0 x f - x 3 3 + 4 x 3 d x + ∫ x f 3 x 3 3 - 4 x 3   d x

Observe que é necessário separar em uma soma de integrais devido à mudança no comportamento da imagem das funções.

Passo 3

Estamos quase prontos para resolver a integral e a nossa questão. Só temos um leve problema. Afinal, quem é esse x 0 e x f que aparecem nos limites de integração? Eles são as coordenadas x dos pontos de interseção entre as duas curvas. Portanto, basta igualar as duas funções e resolver a equação. Desta forma, temos:

x 3 3 - x = x 3

x 3 3 - 4 x 3 = 0

x 3 x 2 - 4 = 0

Resolvendo a equação acima, obtemos x 1 = 0 , x 2 = - 2 e x 3 = 2 . Como x 0 < x f , sabemos então que x 0 = 0 e x f = 2 . Portanto, a área é dada por:

A = ∫ - 2 0 x 3 3 - 4 x 3 d x + ∫ 0 2 - x 3 3 + 4 x 3 d x + ∫ 2 3 x 3 3 - 4 x 3   d x

Passo 4

Vamos resolver agora nossa integral.

A = ∫ - 2 0 x 3 3 - 4 x 3 d x + ∫ 0 2 - x 3 3 + 4 x 3 d x + ∫ 2 3 x 3 3 - 4 x 3   d x

A = x 4 12 - 2 x 2 3 - 2 0 + - x 4 12 + 2 x 2 3 0 2 + x 4 12 - 2 x 2 3 2 3

A = 0 - 16 12 - 8 3 + - 16 12 + 8 3 - 0 + 81 12 - 18 3 - 16 12 - 8 3

A = - - 16 12 + 16 12 - 0 + 9 12 - - 16 12

A = 16 12 + 16 12 + 25 12

A = 57 12 = 19 4

Resposta

A = 19 4

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