Enunciado

Esboce a região delimitada pelas curvas fornecidas. Decida se quer integrar com relação a x ou y . Desenhe um retângulo aproximado típico e identifique sua altura e largura. Então, encontre a área da região.

y = x - 2 2 ,   y = x

Passo 1

Primeiramente vamos esboçar a região delimitada pelas curvas plotando-as em um mesmo gráfico. Assim, obteremos

Resta-nos saber onde é que essas curvas vão se interceptar e para isso vamos igualar suas equações fazendo

x - 2 2 = x → x 2 - 4 x + 4 = x → x 2 - 5 x + 4 = 0

Resolvendo a equação do segundo grau vamos obter como resultado x = 1   e   x = 4 .

Passo 2

Agora, para encontrarmos a área da região delimitada pelas curvas precisamos calcular a integral da função que está por cima menos a função que está por baixo e os limites de integração serão dados pelos valores de x do intercepto das curvas. Então, teremos

∫ 1 4 x - x - 2 2 d x = ∫ 1 4 - x 2 + 5 x - 4 d x

→ - x 3 3 + 5 x 2 2 - 4 x 1 4 = - 64 3 + 40 - 16 - - 1 3 + 5 2 - 4 = 9 2

Resposta

9 2

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