Enunciado

Esboce a região delimitada pelas curvas fornecidas e encontre sua área.

y = 2 x 3 ,     y = x 2 / 8   ,     0 ≤ x ≤ 6

Passo 1

Para esboçarmos a região delimitada pelas curvas vamos esboçar ambas as curvas em um mesmo gráfico e, assim, vamos obter

Ao plotarmos ambas as curvas em um mesmo gráfico já conseguimos obter o ponto de intersecção das mesmas. Para esse caso em específico vamos necessitar separar nossa integral em duas partes no intervalo dado, pois em uma parte temos uma função por cima e em outra temos outra função por cima e para encontrarmos a área necessitamos colocar no integrando a função de cima menos a de baixo. Assim, nessa situação vamos ter

A = ∫ 0 4 2 x 3 - x 2 8 d x + ∫ 4 6 x 2 8 - 2 x 3 d x

Passo 2

Com a fórmula acima em mãos podemos encontrar nossa área de maneira simples fazendo

A = 3 4 ⋅ 2 3 ⋅ x 4 3 - 1 24 ⋅ x 3 0 4 + x 3 24 - 3 4 ⋅ 2 3 ⋅ x 4 3 4 6 =

A = 3 4 ⋅ 2 3 ⋅ 4 4 3 - 1 24 ⋅ 4 3 + 6 3 24 - 3 4 ⋅ 2 3 ⋅ 6 4 3 - 4 3 24 - 3 4 ⋅ 2 3 ⋅ 4 4 3 =

A = 47 3 - 9 2 ⋅ 12 3

Resposta

47 3 - 9 2 ⋅ 12 3

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