Enunciado

Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.

∫ - ∞ 0 2 r d r  

Passo 1

Fala aí! Tudo bom?! Bora resolver uma integralzinha! Aqui temos:

∫ - ∞ 0 2 r d r  

O enunciado pede pra a gente determinar se essa integral é convergente ou divergente e se ela for convergente temos que calcula-la!

Temos uma integral imprópria do tipo 1, ou seja, com intervalo infinito. Por definição temos que:

∫ - ∞ b f ( x ) d x = lim t → - ∞ ⁡ ∫ t b f ( x ) d x

Então pra resolver essa questão, vamos primeiro escrever ela como um limite. Depois a gente calcula a integral e por último a gente avalia: É possível calcular o limite?

A melhor forma de descobrir se uma coisa é possível é tentando!

Se chegarmos a um resultado numérico, então a nossa integral é convergente, se não ela é divergente!

Passo 2

Escrevendo a nossa integral na forma de limite, temos:

∫ - ∞ 0 2 r d r = lim t → - ∞ ⁡ ∫ t 0 2 r d r

Vamos calcular a integral:

∫ t 0 2 r d r

Essa é uma função exponencial, assim:

∫ b x = b x ln ⁡ b + C

Então no nosso caso temos:

∫ t 0 2 r d r = 2 r ln ⁡ 2 t 0

Aplicando os limites de integração:

2 r ln ⁡ 2 t 0 = 2 0 ln ⁡ 2 – 2 t ln ⁡ 2 = 1 - 2 t ln ⁡ 2

Passo 3

Agora precisamos avaliar esse limite:

lim t → - ∞ ⁡ 1 - 2 t ln ⁡ 2

Podemos dizer que:

lim t → - ∞ ⁡ 2 t = 0

Então:

lim t → - ∞ ⁡ 1 - 2 t ln ⁡ 2 = 1 - 0 ln ⁡ 2 = 1 ln ⁡ 2

Opaa! Chegamos em um resultado, isso significa que a nossa integral é convergente!

Resposta

∫ - ∞ 0 2 r d r = 1 ln ⁡ 2

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