Enunciado

Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.

∫ 3 ∞ 1 x - 2 3 2 d x  

Passo 1

Fala aí! Tudo bom?! Bora resolver uma integralzinha! Aqui temos:

∫ 3 ∞ 1 x - 2 3 2 d x  

O enunciado pede pra a gente determinar se essa integral é convergente ou divergente e se ela for convergente temos que calcula-la!

O que temos em mãos é uma integral imprópria do tipo 1, a gente sabe disso pois um dos seus limites de integração é infinito.

Por definição temos que:

∫ a ∞ f ( x ) d x = lim t → ∞ ⁡ ∫ a t f ( x ) d x

Então pra resolver essa questão, vamos primeiro escrever ela como um limite. Depois a gente calcula a integral e por último a gente avalia: É possível calcular o limite?

A melhor forma de descobrir se uma coisa é possível é tentando!

Se chegarmos a um resultado numérico, então a nossa integral é convergente, se não ela é divergente!

Passo 2

Escrevendo a nossa integral na forma de limite, temos:

∫ 3 ∞ 1 x - 2 3 2 d x = lim t → ∞ ⁡ ∫ 3 t 1 x - 2 3 2 d x

Pra calcular essa integral vamos ignorar os limites e fazer de conta que ela é uma integral indefinida. Depois a gente volta com os intervalos direitinho, ok?!

Temos então:

∫ 1 x - 2 3 2 d x

Repara que x - 2 3 2 é uma função composta, poderíamos escreve-la como u 3 2 onde u = x - 2 . Concorda?!

Então vamos resolver essa integral por substituição simples. Se você não lembra, ela funciona assim:

∫ f g x g ' x d x = ∫ f u   d u

Então:

g x = u = x - 2

d u d x = 1 → d x = d u

Agora é só substituir:

∫ 1 x - 2 3 2 d x = ∫ 1 u 3 2 d u

Lembrando que: x - 1 = 1 x , então:

∫ 1 u 3 2 d u = ∫ u - 3 2   d u

Agora podemos usar a regra da potência:

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C

Temos então:

∫ u - 3 2   d u = - 2 u - 1 2 + C

Lembrando que x 1 / 2 = x , então podemos escrever o nosso resultado assim:

∫ u - 3 2   d u = - 2 u + C

Temos que u = x - 2 , então:

∫ 1 x - 2 3 2 d x = - 2 x - 2 + C

Agora a gente vai voltar pra nossa expressão original! Como a nossa integral de verdade é definida, então podemos jogar esse C fora:

lim t → ∞ ⁡ ∫ 3 t 1 x - 2 3 2 d x = lim t → ∞ ⁡ - 2 x - 2 3 t

Aplicando os limites de integração:

l i m t → ∞ = - 2 t - 2 - - 2 3 - 2 = l i m t → ∞ - 2 t - 2 + 2

Passo 3

Agora precisamos avaliar esse limite:

l i m t → ∞ - 2 t - 2 + 2

Se substituímos o infinito na função vamos ter:

∞ - 2 = ∞

Concorda?! Afinal se pegarmos um número muuuuuuito grande, subtrair 2 e tirarmos a raíz, ainda sim ele será um número muito grande!

Agora, você também concorda que:

1 ∞ = 0

Testa aí na calculadora, divide 1 por 100000000000 . Vai dar um número muito pequeninho. Então quanto mais o denominador cresce, mais o resultado se aproxima de zero!

Vamos calcular o limite:

l i m t → ∞ - 2 t - 2 + 2 = - 2 ∞ - 2 + 2

Vimos que:

2 ∞ - 2 = 0

Então:

- 2 ∞ - 2 + 2 = 0 + 2 = 2

Conseguimos calcular o limite, isso significa que a nossa integral é convergente! Finalmente podemos dizer que:

∫ 3 ∞ 1 x - 2 3 2 d x = 2

Resposta

∫ 3 ∞ 1 x - 2 3 2 d x converge para 2 .

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