Enunciado

Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule a convergente

∫ - ∞ ∞ cos ⁡ π t   d t  

Passo 1

Fala aí! Tudo bom?! Bora resolver uma integralzinha! Aqui temos:

∫ - ∞ ∞ cos ⁡ π t   d t  

O enunciado pede pra a gente determinar se essa integral é convergente ou divergente e se ela for convergente temos que calcula-la!

Podemos reescrever a nossa integral da seguinte forma:

∫ - ∞ 0 cos ⁡ π t   d t     + ∫ 0 ∞   cos ⁡ π t   d t    

Ficamos então com duas integrais impróprias do tipo 1, ou seja, com intervalo infinito. Por definição temos que:

∫ a ∞ f ( x ) d x = lim t → ∞ ⁡ ∫ a t f ( x ) d x

∫ - ∞ b f ( x ) d x = lim t → - ∞ ⁡ ∫ t b f ( x ) d x

Então vamos precisar calcular:

lim t → - ∞ ⁡ ∫ t 0 cos ⁡ π t   d t        

l i m t → ∞ ∫ 0 t   cos ⁡ π t   d t    

E depois avaliar seus limites! Se os dois limites existirem, então a integral é convergente!

Passo 2

Vamos calcular:

∫ cos ⁡ π t d t

E depois aplicamos os limites de integração!

Aqui vamos usar a Substituição Simples, fazendo:

u = π t

d u d t = π → d t = d u π

Substituindo:

∫ cos ⁡ u π d u = π ∫ cos ⁡ u   d u

Resolvendo a integral:

π ∫ cos ⁡ u   d u = π sin ⁡ u + C = π sin ⁡ π t + C

Passo 3

Sabendo que:

∫ cos ⁡ π t d t = π sin ⁡ π t + C

Temos que:

∫ t 0 cos ⁡ π t   d t     = π sin ⁡ π t t 0 = π sin ⁡ 0 - π sin ⁡ t

π sin ⁡ π t t 0 = π sin ��� 0 - π sin ⁡ t = - π sin ⁡ t

Além disso:

∫ 0 t   cos ⁡ π t   d t   = π sin ⁡ π t 0 t

π sin ⁡ π t 0 t = sin ⁡ π t - sin ⁡ 0 = sin ⁡ π t

Passo 4

Agora vamos avaliar os limites:

lim t → - ∞ ⁡ ∫ t 0 cos ⁡ π t   d t       = l i m t → - ∞ - π sin ⁡ t

l i m t → ∞ ∫ 0 t   cos ⁡ π t   d t = l i m t → ∞ π sin ⁡ t  

Vamos pensar na função seno, se a gente olhar seu gráfico ele é assim:

Então a medida que eu vou substituindo valores altos positivos ou negativos em uma função seno, ela não muda, ela sempre tem esse comportamento!

Isso significa que no infinito, ou menos infinito o seno não converge pra nenhum valor específico.

Portanto a nossa integral é divergente!

Resposta

∫ - ∞ ∞ cos ⁡ π t   d t   d iverge

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