Enunciado

Use o método das cascas cilíndricas para encontrar o volume pela rotação da região delimitada pelas curvas em relação ao eixo dado:

y = x 4 ,   y = 0 ,   x = 1    

e i x o   x = 2

Passo 1

Opa, bora resolver essa questão! O enunciado pede pra a gente encontrar o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas seguintes curvas:

y = x 4 ,   y = 0 ,   x = 1

Colocando isso em um gráfico temos:

Ou seja, essa região azulzinha vai ser rotacionada em torno do eixo x = 2 . O volume do sólido que a gente obtem é dada por:

V = ∫ a b 2 π   y   f y d x

Vamos colocar a mão na massa!

Passo 2

Os limites de integração vão ser as intersecções de x 4 com y = 0 ,   x = 1 . Ou seja:

x = 0

x = 1

A concha tem raio 2 - x , circunferência 2 π ( 2 - x ) e altura x 4 . Sendo assim, da fórmula e volume:

V   = ∫ 0 1   2 π 2 - x x 4 d x

V =   2 π   ∫ 0 1   2 - x x 4 d x

Integrando:

V = 2 π 2 5 x 5 - 1 6 x 6 0 1

V = 2 π 2 5 - 1 6 - 0   = 2 π   7 30

Chegamos em:

V = 7 15 π

Resposta

V = 7 15 π

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Use o método das cascas cilíndricas para encontrar o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo x . Esboce a região e uma casca típica. x = 1 + y 2 ,
Use o método das cascas cilíndricas para achar o volume gerado pela rotação em torno do eixo y da região limitada pelas curvas dadas. Esboce a região e uma casca típica. y = e - x 2 ,y = 0 , x = 0 ,x
Use o método das cascas cilíndricas para achar o volume gerado pela rotação em torno do eixo y da região limitada pelas curvas dadas. Esboce a região e uma casca típica. y = x 2 ,y = 6 x - 2 x ² ²
Encontre o volume do sólido obtido quando a região sob a curva y = x 4 - x 2 , 0 ≤ x ≤ 2 é girada em torno do eixo y .
Use cascas cilíndricas para encontrar o volume do sólido.Um cone circular reto de altura h e base com raio r .