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Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.

∫ 4 ∞ e - y 2 d y

Passo 1

Para calcular essa integral vamos usar a Definição de uma Integral Imprópria do Tipo 1:

∫ 4 ∞ e - y 2 d y = lim t → ∞ ⁡ ∫ 4 t e - y 2 d y

Bem, para achar o valor dessa integral vamos calcular a integral indefinida dela e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração.

Passo 2

Primeiro vamos analisar qual regra usar para calcular essa integral, então mãos a massa: a expressão já tá simplificada, vamos então tentar fazer uma Substituição.

u = - y 2

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = - 1 2   d y →   d y = - 2 d u

Fazendo a substituição ficamos com:

∫ e - y 2 d y = ∫ - 2 e u d u

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ c f x d x = c ∫ f x d x

∫ e x d x = e x + C

Vamos aplicar:

∫ e - y 2 d y = ∫ - 2 e u d u = - 2 ∫ e u d u = - 2 e u + C

Passo 3

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável y , é só substituir de volta o que você usou no começo:

∫ e - y 2 d y = - 2 e u + C = - 2 e - y 2 + C

Pronto, já encontramos a integral indefinida. Perceba que nem seria necessário colocar a constante de integração nesse caso, pois a gente usou a integral indefinida mais como uma ferramenta para calcular a integral. Agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:

∫ a b f x d x = F b - F a

Vamos lá:

∫ 4 ∞ e - y 2 d y = lim t → ∞ ⁡ ∫ 4 t e - y 2 d y = lim t → ∞ ⁡ - 2 e - y 2 4 t = lim t → ∞ ⁡ - 2 e - t 2 - - 2 e - 4 2 = 0 + 2 e - 2 = 2 e - 2

A integral converge, pois o limite existe.

Resposta

Converge e tem valor ∫ 4 ∞ e - y 2 d y = 2 e - 2

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