Enunciado

Determine se a integral imprópria é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule-a.

∫ - ∞ 0 x 2   e x   d x

Passo 1

A questão pede para calcularmos a integral imprópria e verificar se ele converge. Neste caso, vamos calcular primeiro a integral

I = ∫ t 0 x 2   e x   d x

e sem seguida tomar o limite t → - ∞ .

Para calcular essa integral vamos usar partes:

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

Passo 2

Tomando u = x 2 e d v = e x   d x , temos que d u = 2 x   d x e v = e x :

I = ∫ t 0 x 2   e x   d x = x 2 e x t 0 - 2 ∫ t 0 x   e x   d x

Assim,

I = - t 2 e t - ∫ t 0 2 x   e x   d x

Para essa segunda integral nós usaremos partes novamente com u = 2 x e d v = e x d x . Assim, d u = 2   d x e v = e x :

I = - t 2 e t - 2 x e x t 0 + 2 ∫ t 0 e x   d x

Portanto,

I = - t 2 e t + 2 t e t + 2 1 - e t = - t 2 + 2 t - 2 e t + 2

Passo 3

Agora vamos tomar o limite com t → - ∞ . Já sabemos que o termo 2 e t → 0 . Para os termos do tipo t n e t , note que se trata de uma indeterminação que pode ser reescrita como

t n e - t = " ∞ / ∞ "

Aplicando a regra de L’Hospital sucessivas vezes, o numerado, como é um polinômio, vai diminuindo o seu grau, mas o denominador mantém a exponencial. Quando o polinômio atingir o grau zero, teremos que

c o n s t a n t e e - t → 0

Assim, todos os termos do tipo t n e t → 0 .

Desta forma, temos que

lim t → - ∞ ⁡ I = 2

A integral converge para 2 .

Resposta

2

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