Enunciado

Determine se a integral imprópria é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule-a.

∫ 0 π / 2 1 1 - s e n   y   d y

Passo 1

A questão pede para verificarmos se a integral é convergente ou divergente. O problema dessa integral acontece quando 1 - s e n   y = 0 ⇒ s e n   y = 1 ⇒ y = π / 2 . Assim, temos que fazer

∫ 0 π / 2 1 1 - s e n   y   d y = lim t → π 2 - ⁡ ∫ 0 t 1 1 - s e n   y   d y

Para que essa integral seja convergente, o limite deve existir.

Passo 2

Para calcular a primitiva, vamos multiplicar e dividir por 1 + s e n   y :

∫ 1 1 - s e n   y   d y = ∫ 1 1 - s e n   y ⋅ 1 + s e n   y 1 + s e n   y   d y = ∫ 1 + s e n   y 1 - s e n 2 y   d y

Assim,

∫ 1 1 - s e n   y   d y = ∫ 1 + s e n   y cos 2 ⁡ y   d y = ∫ sec 2 ⁡ y + sec ⁡ y tan ⁡ y d y

Portanto, calculando as integrais:

∫ 1 1 - s e n   y   d y = tan ⁡ y + sec ⁡ y

Desta forma,

∫ 0 t 1 1 - s e n   y   d y = tan ⁡ y + sec ⁡ y 0 t = tan ⁡ t + sec ⁡ t - tan ⁡ 0 - sec ⁡ 0

Logo,

∫ 0 t 1 1 - s e n   y   d y = tan ⁡ t + sec ⁡ t - 1

Passo 3

Tomando o limite com t → π 2 - , temos que cos ⁡ t → 0 + , de modo que sec ⁡ t → ∞ . Assim, temos que

lim t → π 2 - ⁡ tan ⁡ t + sec ⁡ t - 1 = ∞

Como o limite não existe, a integral é divergente!

Resposta

Diverge.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determine se é possível representar por um número a medida da área da região limitada pela curva cuja equação é 2 x y - y = 1 , pelo eixo x e pela reta x = 1 . Sendo possível calcule-o.
Suponha que determina negócio produza um fuxo contínuo de renda e que em t anos a partir de agora a renda seja dada por 1000 t - 300 . Qual o valor atual de todo o rendimento futuro se 8 % ao ano for
Em certo campus universitário a função densindade de probabilidade de que a duração de uma chamada telefônica seja xm i n é dada por f x = 0,4 e - 0,4 x s e x ≥ 0 0 s e x0 Qual a probabilidade de que
Exercício 22 – Calcule a Integral abaixo: ∫ 0 ∞ 2 e - θ s e nθd θ
Utilize a integração, o teste da comparação direta ou o teste da comparação no limite para testar a integral quanto à convergência. Se mais de um método puder ser aplicado, use o de sua preferência. ∫