Enunciado

Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.

∫ 1 ∞ x + 1 x 2 + 2 x   d x

Passo 1

A questão pede para verificarmos a convergência da integral imprópria e, se possível, calculá-la. Como um dos limites de integração é infinito, trata-se de uma integral do tipo 1. Assim, precisamos primeiro calcular a integral

∫ 1 t x + 1 x 2 + 2 x   d x

Feito isso, tomamos o limite fazendo t → ∞ .

Passo 2

Para calcular a integral, vamos fazer a seguinte mudança de variável:

u = x 2 + 2 x ⇒ d u = 2 x + 2   d x ⇒ x + 1   d x = d u 2

Além disso, se x = 1 ⇒ u = 3 e para x = t , u = t 2 + 2 t . Desta forma, a integral fica

∫ 1 t x + 1 x 2 + 2 x   d x = 1 2 ∫ 3 t 2 + 2 t 1 u   d u = 1 2 ln ⁡ u 3 t 2 + 2 t = 1 2 ln ⁡ t 2 + 2 t - ln ⁡ 3

Passo 3

Assim, tomando o limite:

lim t → ∞ ⁡ ∫ 1 t x + 1 x 2 + 2 x   d x = lim t → ∞ ⁡ 1 2 ln ⁡ t 2 + 2 t - ln ⁡ 3

Como t 2 + 2 t → ∞ e, neste caso, ln ⁡ ( t 2 + 2 t ) → ∞ , vemos que o limite é infinito e a integral diverge.

Resposta

Diverge.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

As velocidades dos veículos em uma autoestrada com limite de velocidade de 100k m / h são normalmente distribuídas com média 112k m / h e desvio padrão 8k m / h . Qual a probabilidade de que um veícul
O “Projeto Lixo”, da Universidade do Arizona, relata que a quantidade de papel descartada pelas casas por semana tem uma distribuição normal com média de 4,3k g e desvio padrão de 1,9k g . Qual a porc
A gerente de uma lanchonete determina que o tempo médio de espera de seus clientes para serem atendidos seja de 2,5 minutos. Calcule a probabilidade de um cliente ter de esperar mais de4 minutos. Calc
A roleta de um jogo de mesa indica aleatoriamente um número real entre 0 e 10 . A roleta é honesta, no sentido de que indica um número em um dado intervalo com a mesma probabilidade que indica um núme
O desvio padrão para uma variável aleatória com função densidade de probabilidade f e média μ é definido como σ = ∫ - ∞ ∞ x - μ 2 f x d x 1 2 Calcule o desvio padrão para uma função densidade exponenc