Enunciado

Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.

∫ - ∞ - 1 1 2 - w d w

Passo 1

Para calcular essa integral vamos usar a Definição de uma Integral Imprópria do Tipo 1:

∫ - ∞ - 1 1 2 - w d w = lim t → - ∞ ⁡ ∫ t - 1 1 2 - w d w

Bem, para achar o valor dessa integral vamos calcular a integral indefinida dela e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração.

Passo 2

Primeiro vamos analisar qual regra usar para calcular essa integral, então mãos a massa: a expressão já tá simplificada, vamos então tentar fazer uma Substituição. Temos uma expressão com w no denominador, podemos tentar fazer com que u seja essa expressão, assim:

u = 2 - w

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 0 - 1   d w = -   d w →   d w = - d u

Fazendo a substituição ficamos com:

∫ 1 2 - w d w = ∫ - 1 u d u

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ c f x d x = c ∫ f x d x

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C   n ≠ - 1

Vamos aplicar:

∫ 1 2 - w d w = ∫ - 1 u d u = - 1 ∫ u - 1 2 d u = - u - 1 2 + 1 - 1 2 + 1 + C = - 2 u + C

Passo 3

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável w , é só substituir de volta o que você usou no começo:

∫ 1 2 - w d w = - 2 u + C = - 2 2 - w + C

Pronto, já encontramos a integral indefinida. Perceba que nem seria necessário colocar a constante de integração nesse caso,pois a gente usou a integral indefinida mais como uma ferramenta para calcular a integral. Agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:

∫ a b f x d x = F b - F a

Vamos lá:

∫ - ∞ - 1 1 2 - w d w = lim t → - ∞ ⁡ ∫ t - 1 1 2 - w d w = lim t → - ∞ ⁡ - 2 2 - w t - 1 = lim t → - ∞ ⁡ - 2 2 - - 1 - - 2 2 - t = lim t → - ∞ ⁡ - 2 3 + 2 2 - t = ∞

A integral diverge, pois o limite não existe.

Resposta

A integral diverge.

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Determine se a integral imprópria é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule-a. ∫ e ∞ 1 x ln ⁡ x 2d x
Determine se a integral imprópria é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule-a. ∫ - ∞ ∞ e - xd x
Determine se a integral imprópria é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule-a. ∫ e ∞ 1 x ln ⁡ xd x
Determine se a integral imprópria é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule-a. ∫ 5 ∞ x cosh ⁡ xd x
Determine se a integral imprópria é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule-a. ∫ 3 ∞ 3 x 2 + 9d x