Calcule a integral.

∫ d s s 2 s - 1 2

Passo 1

Queremos resolver a integral dada usando frações parciais. Os fatores no denominador são lineares e se repetem, de modo que

1 s 2 s - 1 2 = A s + B s 2 + C s - 1 + D s - 1 2

Assim,

1 s 2 s - 1 2 = A s s - 1 2 + B s - 1 2 + C s 2 s - 1 + D s 2 s 2 s - 1 2

Portanto,

A + C s 3 + - 2 A + B - C + D s 2 + - A - 2 B s - B = 1

Daí, tiramos B = - 1 , A + C = 0 ⇒ A = - C . Temos também que - A - 2 B = 0 ⇒ A = - 2 B = 2 . Por outro lado, temos que A + C = 0 ⇒ C = - A = - 2 . Por fim, temos que

- 2 A + B - C + D = 0 ⇒ - 4 - 1 - - 2 + D = 0 ⇒ D = 3

Assim,

1 s 2 s - 1 2 = 2 s - 1 s 2 - 2 s - 1 + 3 s - 1 2

Passo 2

Assim, a integral fica

∫ d s s 2 s - 1 2 = ∫ 2 s - 1 s 2 - 2 s - 1 + 3 s - 1 2 d s

Usando as primitivas:

∫ d s s 2 s - 1 2 = 2 ln ⁡ | s | + 1 s - 2 ln ⁡ s - 1 - 3 s - 1 + C

Resposta

2 ln ⁡ | s | + 1 s - 2 ln ⁡ s - 1 - 3 s - 1 + C

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