Enunciado

Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.

∫ 0 ∞ x arctg ⁡ x 1 + x 2 2 d x

Passo 1

Para calcular essa integral vamos usar a Definição de uma Integral Imprópria do Tipo 1:

∫ 0 ∞ x arctg ⁡ x 1 + x 2 2 d x = lim t → ∞ ⁡ ∫ 0 t x arctg ⁡ x 1 + x 2 2 d x

Bem, para achar o valor dessa integral vamos calcular a integral indefinida dela e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração.

Passo 2

Primeiro vamos analisar qual regra usar para calcular essa integral, então mãos a massa: a expressão já tá simplificada, vamos então tentar fazer uma Integração por Partes:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Vamos fazer então u = arctg ⁡ x e d v = x 1 + x 2 2 d x :

d u = 1 1 + x 2 d x e v = ∫ x 1 + x 2 2 d x

Vamos calcular v para poder substituir na fórmula de Integração por partes:

Vamos usar uma substituição:

z = 1 + x 2

d z = 2 x   d x → x   d x = d z 2

Vamos substituir agora:

v = ∫ x 1 + x 2 2 d x = ∫ 1 2 z 2   d z

Pronto, agora temos uma integral simples de resolver, vamos lá.

Passo 3

É fácil achar as primitivas da função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ c f x d x = c ∫ f x d x

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C   n ≠ - 1

Assim vamos ficar com:

v = ∫ 1 2 z 2   d z = 1 2 ∫ 1 z 2   d z = 1 2 ∫ z - 2   d z = 1 2 z - 2 + 1 - 2 + 1 + C = z - 1 - 2 + C = - 1 2 z + C

Não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo:

v = ∫ 1 2 z 2   d z = - 1 2 1 + x 2 + C

Vamos substituir agora:

∫ x arctg ⁡ x 1 + x 2 2 d x = arctg ⁡ x - 1 2 1 + x 2 - ∫ - 1 2 1 + x 2 1 1 + x 2 d x = - arctg ⁡ x 2 1 + x 2 + ∫ 1 2 1 + x 2 2 d x

Pronto, agora temos uma integral simples de resolver, vamos lá.

Passo 4

Agora vamos usar uma substituição trigonométrica:

x = tg ⁡ θ

d x = sec 2 ⁡ θ d θ

Vamos substituir agora:

∫ 1 2 1 + x 2 2 d x = ∫ 1 2 1 + tg 2 ⁡ θ 2   sec 2 ⁡ θ d θ

Vamos manipular um pouco essa expressão usando a identidade trigonométrica 1 + tg 2 ⁡ θ = sec 2 ⁡ θ e que 1 sec ⁡ θ = cos ⁡ θ :

∫ 1 2 1 + x 2 2 d x = ∫ 1 2 1 + tg 2 ⁡ θ 2   sec 2 ⁡ θ d θ = ∫ 1 2 sec 2 ⁡ θ 2   sec 2 ⁡ θ d θ = ∫ 1 2 sec 4 ⁡ θ   sec 2 ⁡ θ d θ = ∫ 1 2 sec 2 ⁡ θ   d θ = ∫ cos 2 ⁡ θ 2   d θ = ∫ 1 2 1 + cos ⁡ 2 θ 2   d θ = ∫ 1 2 . 1 2   d θ + ∫ 1 2 cos ⁡ 2 θ 2   d θ = ∫ 1 4 d θ + ∫ cos ⁡ 2 θ 4 d θ

Pronto, agora temos uma integral simples de resolver, vamos lá.

Passo 5

É fácil achar as primitivas da função, usando três expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ k d x = k x + C

∫ c f x d x = c ∫ f x d x

∫ cos ⁡ c x d x = sen ⁡ c x c + C

Assim vamos ficar com:

∫ 1 2 1 + x 2 2 d x = ∫ 1 4 d θ + ∫ cos ⁡ 2 θ 4 d θ = 1 4 θ + 1 4 ∫ cos ⁡ 2 θ d θ = 1 4 θ + 1 4 sen ⁡ 2 θ 2 + C = 1 4 θ + 2 sen ⁡ θ cos ⁡ θ 8 + C = 1 4 θ + sen ⁡ θ cos ⁡ θ 4 + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , para isso vamos fazer um esquema pela figura abaixo:

Temos então que:

sen ⁡ θ = x 1 + x 2

cos ⁡ θ = 1 1 + x 2

tg ⁡ θ = x → θ = arctg ⁡ x

Vamos substituir agora:

∫ 1 2 1 + x 2 2 d x = 1 4 θ + sen ⁡ θ cos ⁡ θ 4 + C = 1 4 arctg ⁡ x + x 1 + x 2 1 1 + x 2 4 + C = arctg ⁡ x 4 + x 4 1 + x 2 + C

Vamos agora voltar a expressão original e problema resolvido:

∫ x arctg ⁡ x 1 + x 2 2 d x = - arctg ⁡ x 2 1 + x 2 + ∫ 1 2 1 + x 2 2 d x = - arctg ⁡ x 2 1 + x 2 + arctg ⁡ x 4 + x 4 1 + x 2 + C

Passo 6

Pronto, já encontramos a integral indefinida. Perceba que nem seria necessário colocar a constante de integração nesse caso, pois a gente usou a integral indefinida mais como uma ferramenta para calcular a integral. Agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:

∫ a b f x d x = F b - F a

Vamos lá:

∫ 0 ∞ x arctg ⁡ x 1 + x 2 2 d x = lim t → ∞ ⁡ ∫ 0 t x arctg ⁡ x 1 + x 2 2 d x = lim t → ∞ ⁡ - arctg ⁡ x 2 1 + x 2 + arctg ⁡ x 4 + x 4 1 + x 2 0 t = lim t → ∞ ⁡ - arctg ⁡ t 2 1 + t 2 + arctg ⁡ t 4 + t 4 1 + x 2 - - arctg ⁡ 0 2 1 + 0 2 + arctg ⁡ 0 4 + 0 4 1 + 0 2 = - 0 + 1 4 . π 2 + 0 - 0 + 0 + 0 = π 8

A integral converge, pois o limite existe.

Resposta

Converge e tem valor ∫ 0 ∞ x arctg ⁡ x 1 + x 2 2 d x = π 8

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