Enunciado

Determine se o campo vetorial é conservativo ou não. Se for conservativo, determine uma função f tal que F → = ∇ f .

F x , y , z = e y z i ^ + x z e y z   j ^ + x y e y z k ^

Passo 1

Vamos lembrar quais são as condições para que o campo vetorial seja conservativo.

A primeira coisa que temos que ter é que, o rotacional de F → deve ser nulo. Entretanto essa é uma condição necessária, mais não suficiente. Uma vez verificado que ∇ × F → = 0 → , o próximo passo é buscar verificar a cara de f

Para calcular o rotacional, fazemos

∇ × F ^ = i ^ j ^ k ^ d d x d d y d d z F x F y F z = d F z d y - d F y d z i ^ + d F x d z - d F z d x j ^ + d F y d x - d F x d y k ^

Passo 2

Calculando o rotacional

∇ × F ^ =   d x y e y z d y - d x z e y z d z i ^ + d e y z d z - d x y e y z d x j ^ + d x z e y z d x - d e y z d y k ^  

= x e y z + x y z e y z - x e y z - x y z e y z i ^ + y e y z - y e y z j ^ + z e y z - z e y z k ^ = 0

Logo o campo conservativo.

Passo 3

Como o exercício sugere que o campo seja conservativo, vamos direto tentar calcular a função f .

Para isso vamos seguir um passo a passo lógico.

Se ∇ f = F → isso implica que

∇ f = ∂ f ∂ x ,   ∂ f ∂ y , ∂ f d z = F →

Logo se para gerar F → tivemos que derivar f , vamos tomar o caminho inverso.

Seja

∂ f d x = e y z → f = ∫   e y z   d x = x e y z + C ( y , z )

Derivando essa função na direção y , temos

∂ x e y z + C ( y , z ) d y = x z e y z +   C ' y , z = ∂ f d y = x z e y z

Isso implica que C ' y , z = 0 → C y , z = C ( z )

Desta forma se derivarmos novamente nossa f na direção z , teremos

∂ x e y z + C ( z ) d z = x y e y z + C ' z = ∂ f d z = x y e y z

Implicando que C ' z = 0 → C z = C , logo nossa f se resume a

f =   x e y z + C

Resposta

Campo é conservativo e f =   x e y z + C

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determine uma função f tal que F = ∇ f e b) use a parte a) para calcular ∫ C F ⋅ d r sobre a curva C dada. F x , y = x 3 y 4 i + x 4 y 3 j C : r t = t i + 1 + t 3 j ,0 ≤ t ≤ 1
A partir do gráfico de F você diria que ele é conservativo? Verifique se seu palpite estava correto. F x , y , = 2 x y + sen ⁡ y i + x 2 + x cos ⁡ yj
A partir do gráfico de F você diria que ele é conservativo? Verifique se seu palpite estava correto. F x , y , = x - 2 y i + x - 2j 1 + x 2 + y 2
Determine o trabalho realizado pelo campo vetorial de força F movendo um objeto um objeto de P a Q. F x , y = y 2 x 2 i - 2 y x j ;P 1,1 ,Q ( 4 , - 2 )
Determine uma função f tal que F = ∇ f e b) use a parte a) para calcular ∫ C F ⋅ d r sobre a curva C dada. F x , y = y i + x + 2 y j , C é a semicircunferência superior que começa em (0,1) e termina e