Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.5 - Ex. 17
Determine se o campo vetorial é conservativo ou não. Se for conservativo, determine uma função tal que .
Passo 1
Vamos lembrar quais são as condições para que o campo vetorial seja conservativo.
A primeira coisa que temos que ter é que, o rotacional de deve ser nulo. Entretanto essa é uma condição necessária, mais não suficiente. Uma vez verificado que , o próximo passo é buscar verificar a cara de
Para calcular o rotacional, fazemos
Passo 2
Calculando o rotacional
Logo o campo conservativo.
Passo 3
Como o exercício sugere que o campo seja conservativo, vamos direto tentar calcular a função .
Para isso vamos seguir um passo a passo lógico.
Se isso implica que
Logo se para gerar tivemos que derivar , vamos tomar o caminho inverso.
Seja
Derivando essa função na direção , temos
Isso implica que
Desta forma se derivarmos novamente nossa na direção , teremos
Implicando que , logo nossa se resume a
Resposta
Campo é conservativo e
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