Enunciado

Determine se o campo vetorial é conservativo ou não. Se for conservativo, determine uma função f tal que F → = ∇ f .

F x , y , z = e x s e n   y z   i ^ + z e x cos ⁡ y z     j ^ + y e x cos ⁡ y z k ^

Passo 1

Vamos lembrar quais são as condições para que o campo vetorial seja conservativo.

A primeira coisa que temos que ter é que, o rotacional de F → deve ser nulo. Entretanto essa é uma condição necessária, mais não suficiente. Uma vez verificado que ∇ × F → = 0 → , o próximo passo é buscar verificar a cara de f

Para calcular o rotacional, fazemos

∇ × F ^ = i ^ j ^ k ^ d d x d d y d d z F x F y F z = d F z d y - d F y d z i ^ + d F x d z - d F z d x j ^ + d F y d x - d F x d y k ^

Passo 2

Calculando o rotacional

∇ × F ^ =   d y e x cos ⁡ y z d y - d z e x cos ⁡ y z   d z i ^ + d e x s e n   y z d z - d y e x cos ⁡ y z d x j ^ + d z e x cos ⁡ y z   d x - d e x s e n   y z d y k ^  

= e x cos ⁡ y z - y z e x   s e n   y z - e x cos ⁡ y z + y z e x   s e n   y z i ^ + y e x cos ⁡ y z - y e x cos ⁡ y z j ^ + z e x cos ⁡ y z - z e x cos ⁡ y z k ^ = 0

Logo o campo conservativo.

Passo 3

Como o exercício sugere que o campo seja conservativo, vamos direto tentar calcular a função f .

Para isso vamos seguir um passo a passo lógico.

Se ∇ f = F → isso implica que

∇ f = ∂ f ∂ x ,   ∂ f ∂ y , ∂ f d z = F →

Logo se para gerar F → tivemos que derivar f , vamos tomar o caminho inverso.

Seja

∂ f d x = e x s e n   y z → f = ∫   e x s e n   y z   d x = e x s e n   y z + C ( y , z )

Derivando essa função na direção y , temos

∂ e x s e n   y z + C ( y , z ) d y = z e x cos ⁡ y z +   C ' y , z = ∂ f d y = z e x cos ⁡ y z  

Isso implica que C ' y , z = 0 → C y , z = C ( z )

Desta forma se derivarmos novamente nossa f na direção z , teremos

∂ e x s e n   y z + C ( z ) d z = y e x c o s   y z + C ' z = ∂ f d z = y e x cos ⁡ y z

Implicando que C ' z = 0 → C z = C , logo nossa f se resume a

f = e x s e n   y z + C

Resposta

Campo é conservativo e f = e x s e n   y z + C

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