Enunciado

Faça o gráfico da solução particular e de várias outras soluções. Que características essas soluções têm em comum?

y ´ ´ + 4 y = e - x

Passo 1

Primeiramente nós solucionamos a equação característica da parte homogenia onde

r 2 + 4 = 0 que tem solução r 1 = - 2 i   r = + 2 i ,   onde i 2 = - 1   , a solução da parte homogenia será:

y h x = c 1 e r 1 x + c 2 e r 1 x = c 1 e - 2 i x + c 2 e 2 i x

Utilizando a identidade de Euler ( e i x = cos ⁡ x + i s e n ( x ) ) e aproveitando a parte real teremos:

y h x = c 1 cos ⁡ 2 x + c 2 s e n ( 2 x )

Passo 2

Agora utilizaremos as técnicas dos coeficientes à determinar chutando uma solução particular do tipo y p = A e - x

Suas derivadas ficam y p ´ = - A e - x

e y p ´ ´ = A e - x

onde y ´ ´ + 4 y = e - x

substituindo y p   n ó s   t e r e m o s :

A e - x + 4 A e - x = e - x

5 A e - x = e - x

De fato, nós temos uma igualdade então os dois lados têm que ser iguais assim:

5 A = 1   ,   A = 1 5

y p = 1 5 e - x

A solução da equação diferencial não homogenia será:

y x = y h + y p = c 1 cos ⁡ 2 x + c 2 s e n ( 2 x ) + 1 5 e - x

Passo 3

Notamos que as soluções oscilam em y = 1 5 e - x   , e quando x   tende para infinito as soluções convergem para a solução particular.

Resposta

Notamos que as soluções oscilam em y = 1 5 e - x   , e quando x   tende para infinito as soluções convergem para a solução particular.

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