Enunciado

18 -Determine a para que as circunferências y 2 + x 2 = 1   e x - a 2 + y 2 = 1 se interceptem ortogonalmente.

Passo 1

Obs: para evitar confusões, vamos denominar a circunferência dada por y 2 + x 2 = 1   p o r   C 1   e a dada por x - a 2 + y 2 = 1 por C 2 .

Para que duas curvas se interceptem ortogonalmente, é necessário que, nos pontos de interseção, as retas tangentes sejam perpendiculares.

Note que, para isso, é importante que a ≤ 2 ,   pois a distância entre os centros das circunferências deve ser, no máximo, igual a soma dos raios de cada circunferência: ( a 2 ) ≤ 1 + 1 = 2 ⇔ a 2 ≤ 4 ⇔ a ≤ 4 = 2

Para isso, derivamos implicitamente as funções das circunferência em relação a x.

C 1 :           2 y . d y d x + 2 x = 0 ⇔ d y d x = - x y

C 2 :           2 x - a + 2 y . d y d x = 0 ⇔ d y d x = - x - a y

Passo 2

Agora, encontraremos, em função de a , os pontos de interseção das circunferências:

x - a 2 + y 2 - 1 = x 2 + y 2 - 1  

x - a 2 = x 2

Note que uma solução trivial para a equação acima é a = 0 . No entanto, neste caso temos que C 1 = C 2 , e isso implica em elas não se interceptarem ortogonalmente.

Assim, temos a ≠ 0   e   x 2 - 2 a x + a 2 = x 2 ⇔ a 2 - 2 a x = 0 ⇔ a a - 2 x = 0

Daí, temos: a - 2 x = 0 ∴ a = 2 x

Passo 3

Agora que encontramos o valor de a , precisamos que o produto dos coeficientes angulares das retas tangentes seja igual a -1.

Primeiramente, substituímos o valor encontrado de x para que possamos expressar y em termos de a também.

a 2 - a 2 + y 2 = 1 ∴ a 2 4 + y 2 = 1

Daí, temos:

y = ± 4 - a 2 2

Agora, substituímos os valores de x e de y no produto das derivadas de C 1   e   C 2 :

y 1 ' . y 2 ' = - 1

x ( x - a ) y 2 = - 1

4 - a 2 4 4 - a 2 = - 1

- a 2 = - 4 - a 2

a 2 = 4 - a 2

2 a 2 = 4

a 2 = 2

Resposta

a = 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determine a derivada da função y = ( 1 + x 2 ) e t g - 1 x
Determine a derivada da função y = s e n - 1 1 - u 2
Determine a derivada da função y = 2 x - 2
Determine a derivada da função y = 2 ( l nx ) x / 2
Determine a derivada da função y = z⋅ c o s - 1 z - 1 - z 2