Determine o comprimento a curva

y = ∫ 0 x cos ⁡ 2 t d t

De x = 0 até x = pi / 4

Passo 1

Para calcularmos o comprimento da curva, devemos usar a fórmula para o comprimento.

Como temos uma função de x , a fórmula vai ser:

L = ∫ a b 1 + f ' x 2 d x

Entao precisamos de duas coisas, o intervalo de intergração, que ele deu no enunciado, e a derivada da f x , que é a função do enunciado.

O intervalo é de x = 0 até x = π 4 , vamos para a derivada.

f x = ∫ 0 x cos ⁡ 2 t d t

Para derivar, vamos usar o teorema fundamental do cálculo, encontramos:

f ' x = cos ⁡ 2 x

Passo 2

Vamos para a interal do comprimento agora, usando oque achamos:

L = ∫ 0 π 4 1 + cos ⁡ 2 x 2 d x

O valor de cos ⁡ 2 x sempre vai ser positivo no intervalo de integração, podemos cortar aquele expoente ½ com aquele quadrado sem necessidade de colocar o módulo

L = ∫ 0 π 4 1 + cos ⁡ 2 x d x

Passo 3

Vamos resolver essa integral:

L = ∫ 0 π 4 1 + cos ⁡ 2 x d x

Primeiro, vamos ver a integral indefinida:

∫ 1 + cos ⁡ 2 x d x =

Para resolver essa integral, vamos lembrar que:

cos 2 ⁡ x = 1 + cos ⁡ 2 x 2

O termo que temos na raiz é:

1 + cos ⁡ 2 x = 2 cos 2 ⁡ x

Assim, nossa integral fica:

∫ 1 + cos ⁡ 2 x d x = ∫ 2 cos 2 ⁡ x d x

Aqui, como estamos com a integral indefinida, precisamos colocar o módulo ao cortar a raiz.

∫ 2 cos 2 ⁡ x d x = ∫ 2 cos ⁡ x d x

Ai você me pergunta, mas e como fazemos a integral do módulo? Vamos usar uma marotagem aqui. isso vai entrar na integral definida, então tudo que vale lá vai valer nessa também.

O cosseno é sempre positivo de 0 até π 4 , então:

∫ 2 cos ⁡ x d x = ∫ 2 cos ⁡ x d x = 2 sen ⁡ x + C

Passo 4

Voltando para a nossa integral definida:

L = ∫ 0 π 4 1 + cos ⁡ 2 x d x = 2 sen ⁡ x 0 π 4 =

2 sen ⁡ π 4 - 2 sen ⁡ 0 =

2 2 2 - 0 =

2 2 = 1

Resposta

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