Enunciado

Determine o comprimento a curva

y = int_0^x sqrt(cos 2 t) d t

De x = 0 até x = (pi)/(4)

Passo 1

Para calcularmos o comprimento da curva, devemos usar a fórmula para o comprimento.

Como temos uma função de x , a fórmula vai ser:

L = int_a^b sqrt(1 + (f^' (x))^2) d x

Entao precisamos de duas coisas, o intervalo de intergração, que ele deu no enunciado, e a derivada da f (x) , que é a função do enunciado.

O intervalo é de x = 0 até x = (pi)/(4) , vamos para a derivada.

f (x) = int_0^x sqrt(cos 2 t) d t

Para derivar, vamos usar o teorema fundamental do cálculo, encontramos:

f^' (x) = sqrt(cos 2 x)

Passo 2

Vamos para a interal do comprimento agora, usando oque achamos:

L = int_0^((pi)/(4)) sqrt(1 + (sqrt(cos 2 x))^2) d x

O valor de cos 2 x sempre vai ser positivo no intervalo de integração, podemos cortar aquele expoente ½ com aquele quadrado sem necessidade de colocar o módulo

L = int_0^((pi)/(4)) sqrt(1 + cos 2 x) d x

Passo 3

Vamos resolver essa integral:

L = int_0^((pi)/(4)) sqrt(1 + cos 2 x) d x

Primeiro, vamos ver a integral indefinida:

int (sqrt(1 + cos 2 x)) d x =

Para resolver essa integral, vamos lembrar que:

cos^2 x = (1 + cos 2 x)/(2)

O termo que temos na raiz é:

1 + cos 2 x = 2 cos^2 x

Assim, nossa integral fica:

int (sqrt(1 + cos 2 x)) d x = int (sqrt(2 cos^2 x)) d x

Aqui, como estamos com a integral indefinida, precisamos colocar o módulo ao cortar a raiz.

int (sqrt(2 cos^2 x)) d x = int (sqrt(2) |cos x|) d x

Ai você me pergunta, mas e como fazemos a integral do módulo? Vamos usar uma marotagem aqui. isso vai entrar na integral definida, então tudo que vale lá vai valer nessa também.

O cosseno é sempre positivo de 0 até (pi)/(4) , então:

int (sqrt(2) |cos x|) d x = int sqrt(2) cos x d x = sqrt(2) sen x + C

Passo 4

Voltando para a nossa integral definida:

L = int_0^((pi)/(4)) sqrt(1 + cos 2 x) d x = ((sqrt(2) sen x)|_0^((pi)/(4)) =

(sqrt(2) sen ((pi)/(4))) - (sqrt(2) sen 0) =

(sqrt(2) (sqrt(2))/(2)) - (0) =

(2)/(2) = 1

Resposta

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