Enunciado

Determine o comprimento das curvas. Se tiver um programa gráfico, talvez queira esboçar o gráfico dessas curvas para ver como elas são

y = x 3 2

De x = 0 a x = 4

Passo 1

Para calcularmos o comprimento da curva, devemos usar a fórmula para o comprimento.

Como temos uma função de x , a fórmula vai ser:

L = ∫ a b 1 + f ' x 2 d x

Entao precisamos de duas coisas, o intervalo de intergração, que ele deu no enunciado, e a derivada da f x , que é a função do enunciado.

O intervalo é de x = 0 até x = 4 , vamos para a derivada.

f x = x 3 2

Derivando, vamos ter:

f ' x = 3 2 x 1 2

Passo 2

Vamos para a interal do comprimento agora, usando oque achamos:

L = ∫ 0 4 1 + 3 2 x 1 2 2 d x

Como x é sempre positivo no intervalo de integração, podemos cortsar aquele expoente ½ com aquele quadrado sem necessidade de colocar o módulo

L = ∫ 0 4 1 + 9 x 4 d x

Passo 3

Vamos resolver essa integral:

L = ∫ 0 4 1 + 9 x 4 d x

Primeiro, vamos ver a integral indefinida:

∫ 1 + 9 x 4 d x

Vamos usar a substituição simples, fazendo:

1 + 9 x 4 = a → 9 d x 4 = d a → d x = 4 9 d a

A integral vai ficar:

∫ 1 + 9 x 4 d x = ∫ 4 a d a 9 = 4 9 ∫ a d a

Escrevendo aquela raiz como potência:

a = a 1 2

Nossa integral em a fica:

4 9 ∫ a d a = 4 9 ∫ a 1 2 d a = 4 9 a 3 2 3 / 2 + C = 4 9 2 3 a 3 2 + C = 8 27 a 3 2 + C

Voltando para x :

8 27 a 3 2 + C = 8 27 1 + 9 x 4 3 2 + C

Passo 4

Voltando para a nossa integral definida:

L = ∫ 0 4 1 + 9 x 4 d x = 8 27 1 + 9 x 4 3 2 0 4 =

8 27 1 + 9 4 4 3 2 - 8 27 1 + 9 0 4 3 2 =

8 27 10 3 2 - 8 27 1 3 2 =

8 27 10 3 2 - 8 27

Passo 5

Segue o gráfico dessa função para enxergamos como ela é:

Resposta

8 27 10 3 2 - 8 27

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