Enunciado

Determine se o conjunto dado é ou não: (a) aberto, (b) conexo por caminhos e (c) simplesmente conexo.

x , y   0 < y < 3

Passo 1

E aii, tudo certo?

Nessa questão, nós temos um conjunto:

D = x , y   0 < y < 3

E precisamos determinar se ele é aberto, conexo por caminhos, e simplesmente conexo.

Vamos ver um por um:

  1. Para D ser aberto, precisamos que pra todo ponto do conjunto exista uma bola aberta centrado nesse ponto que esteja totalmente contido em D .
  2. Com menos “matematiquês”, podemos dizer que um conjunto é aberto quando os pontos que limitam D não fazem parte dele.

  3. D ser conexo por caminhos quer dizer que quaisquer dois pontos em D podem ser ligados por uma curva contida no conjunto.
  4. Na prática, isso quer dizer que a região de D no R 2 é “uma só”, em vez de ser contida por mais de uma região separadas.

  5. E para o caso de D ser simplesmente conexo, qualquer curva simples fechada em D vai contornar somente pontos que pertencem à região.

Traduzindo: não tem nenhum “buraco” na região.

Então vamos analisar cada um dos casos!

Passo 2

Vamos desenhar a região definida pelo conjunto

D = x , y   0 < y < 3

E agora vamos analisar cada uma das definições com base nesse desenho.

Passo 3

(a)

Percebe que pelo desenho, os limites da região são as retas y = 0 e y = 3 , que não fazem parte da região!

Portanto, é uma região aberta!

Passo 4

(b)

Ainda olhando pro desenho, temos que o conjunto D define uma região única, toda contínua. Isso indica que D é conexo por caminhos!

Passo 5

(c)

Por último, percebemos que não tem nenhum “buraco” no desenho de D .

Ou seja, é um conjunto simplesmente conexo!

Resposta

  1. D é aberto
  2. D é conexo por caminhos
  3. D é simplesmente conexo
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