Enunciado

Determine se o conjunto dado é ou não: (a) aberto, (b) conexo por caminhos e (c) simplesmente conexo.

x , y   0 < y < 3

Passo 1

Para resolvermos esse exercício iremos usar as definições estabelecidas no capítulo para curvas abertas, conexas por caminho e simplesmente conexos.

Passo 2

  1. Temos que o intervalo dado não inclui os dois extremos, y = 0 e y = 3 , assim temos que o conjunto D será aberto.
  2. Passo 3

  3. Como para todo D há uma continuidade, temos que quaisquer dois pontos dentro do conjunto podem ser interligados por uma curva inteiramente em D sem nenhuma interferência, assim o conjunto é conexo por caminhos
  4. Passo 4

  5. Como D é conectado e não há nenhuma descontinuidade, temos que qualquer curva fechada em D conta com apenas pontos dentro do próprio conjunto, logo temos que D é simplesmente conexo.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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