Enunciado

  1. Determine uma função f tal que F = ∇ f e
  2. Use a parte (a) para calcular ∫ F ⋅ d r sobre a curva C dada.

F x , y , z = s e n   y i ^ + x cos ⁡ y + cos ⁡ z j ^ - ( y   s e n   z ) k ^

C : r t = s e n   t   i ^ + t j ^ + 2 t k ^ ,         0 ≤ t ≤ π / 2

Passo 1

Vamos separar nosso campo vetorial em três:

f x = y 2 z + 2 x z 2

f y = 2 x y z

f z = x y 2 + 2 x 2 z

A primeira coisa que vamos fazer é integrar f x em relação a x . Assim, temos

f x , y , z = ∫ ( y 2 z + 2 x z 2 )   d x = x y 2 z + 2 x 2 2 z 2 + g ( y , z )

Passo 2

A próxima coisa é derivar a função f ( x , y , z ) em relação a y .

f y = 2 x y z + g y y , z

Sabemos que f y = 2 x y z . Assim, comparando com o valor encontrada acima, temos:

2 x y z = 2 x y z + g y y , z

g y y , z = 0

Se integrarmos g y ( y , z ) em relação a y , temos:

g y , z = 0 + h z

g y , z = h z

Passo 3

Reescrevendo a equação para a fundão f , temos:

f x , y , z = x y 2 z + x 2 z 2 + g ( y , z )

f x , y , z = x y 2 + x 2 z 2 + h z

Vamos derivá-la em relação a z agora.

f z = x y 2 + 2 x 2 z + h ' z

Como temos uma expressão para f z , vamos comparar as duas!

x y 2 + 2 x 2 z + h ' z = x y 2 + 2 x 2 z

h ' z = 0

Integrando a função h ' ( z ) em relação a z , temos:

h z = C

Por fim, reescrevendo a função f :

f x , y , z = x y 2 z + x 2 z 2 + C

Resposta

A função é igual a:

f x , y , z = x y 2 z + x 2 z 2 + C

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3 ) Seja Ω = {(x, y) ∈ ℝ2 | (x, y) ∉ A}, onde A é a semirreta {(x, y)∈ ℝ2 | y= 0 e x ≥ 0}. Calcule ∫ γ - y x 2 + y 2 d x + x x 2 + y 2 d y onde γ: [ 0 ,1 ]→R 2 é uma curva C1 por partes, com imagem co
Calcule e )∫ γ s e nx y + x y cos ⁡ x y d x + x 2 cos ⁡ x yd y Onde γ t = t 2 - 1 ,t 2 + 1,- 1 ≤ t ≤ 1
2 ) Seja F:Ω⊂R n→R n contínuo no aberto Ω. Prove que uma condiçãonecessária para que F seja conservativo é que ∫ γ F ⋅ d r = 0 , para toda curva γ fechada C 1 por partes com imagem contida em Ω
4 ) Seja Ω o interior do conjunto hachurado.Sejaγ:[0 ,1]→R 2 uma curva de classe C1 por partes com imagemcontida em Ω e tal que γ( 0 )=( 1 ,1 )eγ( 1 )=( 2 ,2 ) . Calcule ∫ γ - y x 2 + y 2 d x + x x 2
Calcule ∫ ( 1,1 ) ( 2,2 ) yd x + xd y