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Exercícios Resolvidos de Um curso de Cálculo Volume 2 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi

Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi - 11.2 - 2b

Determine o conjunto dos pontos em que a função dada é diferenciável. Justifique.

f x , y = x 3 x 2 + y 2 s e   x , y ≠ 0,0 0 s e   x , y = ( 0,0 )

Passo 1

Para determinar diferenciabilidade, podemos usar as derivadas parciais. Se temos derivadas parciais contínuas e bem definidas, a função é diferenciável, se algum ponto não obedecer a essas determinações então podemos dizer que ela não é diferenciável no ponto.

Calculando as derivadas parciais, primeiro em x

f x = 3 x 2 x 2 + y 2 - x 3 2 x x 2 + y 2 2 = 3 x 4 + 3 x 2 y 2 - 2 x 4 x 2 + y 2 2

f x = x 4 + 3 x 2 y 2 x 2 + y 2 2

Derivando em y

f y = - 2 x 3 y x 2 + y 2 2

Podemos verificar que as derivadas são bem definidas para pontos diferentes de 0,0 , então ela é diferenciável nesses pontos, vamos verificar então o ponto 0,0 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Para verificar neste ponto vamos usar o limite

lim h , k → 0,0 ⁡ f h , k - f 0,0 - f x ( 0,0 ) h - f y ( 0,0 ) k h 2 + k 2

Se o limite existir e for 0 , então podemos afirmar que f é diferenciável em 0,0 . Para isso precisaremos das derivadas parciais em 0,0 que encontramos pela definição

f x 0,0 = lim h → 0 ⁡ f h , 0 - f ( 0,0 ) h

= lim h → 0 ⁡ h 3 h 2 + 0 2 - 0 h = lim h → 0 ⁡ h h = 1

Em y

f y 0,0 = lim h → 0 ⁡ f 0 , h - f ( 0,0 ) h

= lim h → 0 ⁡ 0 0 2 + h 2 - 0 h = 0

Passo 3

Voltando ao limite da diferenciabilidade

lim h , k → 0,0 ⁡ f h , k - f 0,0 - f x ( 0,0 ) h - f y ( 0,0 ) k h 2 + k 2

= lim h , k → 0,0 ⁡ h 3 h 2 + k 2 - 0 - h h 2 + k 2 = lim h , k → 0,0 ⁡ h 3 - h 3 - h k 2 h 2 + k 2 h 2 + k 2

= lim h , k → 0,0 ⁡ - h k 2 h 2 + k 2 h 2 + k 2 = lim h , k → 0,0 ⁡ - h k 2 h 2 + k 2 3 / 2

Se pegarmos o caminho h = k = t → 0

= lim t → 0 ⁡ - t 3 2 t 2 3 / 2 = lim t → 0 ⁡ - t 3 8 t 3

= - 1 8 ≠ 0

Como encontramos um valor diferente de 0 , o limite não pode ser 0 e a função não é diferenciável em ( 0,0 ) .

Portanto o conjunto em que a função é diferenciável é R 2 - 0,0 .

Resposta

R 2 - 0,0

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