Enunciado

Encontrar um valor aproximado para a seguinte expressão :

3,99 2 + 4,01 2 + 1,99 2

Passo 1

Para resolver esse tipo de questão precisamos achar a equação do plano tangente em um determinado ponto, de modo que esse plano seja tangente a uma função que se assemelha a nossa expressão acima

w =   x 2 + y 2 + z 2

Seja

F x , y , z , w =   x 2 + y 2 + z 2 - w

Cálculo do vetor gradiente

∂ F ∂ x = x x 2 + y 2 + z 2

∂ F ∂ y = y x 2 + y 2 + z 2

∂ F ∂ z = z x 2 + y 2 + z 2

∂ F ∂ w = - 1

∇ F x , y , z = x x 2 + y 2 + z 2 , y x 2 + y 2 + z 2 , z x 2 + y 2 + z 2 , - 1

No ponto em que x = 4 e y = 4 e z = 2 . Esses pontos são escolhidos de modo a me possibilitar calcular os valores das expressões acima

∇ F 4,4 , 2 , 6 = 2 3 , 2 3 , 1 3 , - 1

A equação do plano tangente nesse ponto será:

x - 4 , y - 4 , z - 2 , w - 6 ∙ 2 3 , 2 3 , 1 3 , - 1 = 2 x - 4 + 2 y - 4 + z - 2 - 3 ( w - 6 ) = 0    

Passo 2

Agora que temos a equação do plano tangente lembramos que ele tem aproximadamente os mesmos valores que nossa função tem para valores próximos do ponto de tangencia

Substituindo x = 3,99 , y = 4,01 e z =1,99 na nossa equação do plano temos

2 3,99 - 4 + 2 4,01 - 4 + 1,99 - 2 - 3 ( w - 6 ) = 0             ⟹ w = 5 , 996

Resposta

5,996

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Usando a definição, verificar que as funções dadas são diferenciáveis em R 2 :b) f x , y = 2 x y
Identifique a região de R 2 onde as funções dadas são diferenciáveis:h) f x , y = arctan ⁡ 2 x y
Identifique a região de R 2 onde as funções dadas são diferenciáveis:e) z = s e n 2 x y x 2 + y 2
Identifique a região de R 2 onde as funções dadas são diferenciáveis:f) f x , y = e x 2 - y 2
Verificar se as funções dadas são diferenciáveis na origem:e) f x , y = 1 x 2 + y 2 , ( x , y ) ≠ ( 0,0 ) 0 ,x , y = ( 0,0 )