Enunciado

Determine a derivada no Exercício d d t ∫ 0 t 4 u   d u

a. calculando a integral e derivando o resultado.

b. derivando a integral diretamente.

Passo 1

A questão nos pede que calculemos a derivada de uma integral definida por dois modos:

  1. Primeiro integrando e depois derivando
  2. Derivando direto, para isso é preciso lembrar do Teorema Fundamental do Cálculo em que d d x ∫ a b f ( x ) ⁡ d x = f b . ( b ) '

Passo 2

Vamos resolver primeiro a letra “a” e resolver primeiro a integral:

d d t ∫ 0 t 2 u   d u = u 0 t 4

= u 1 2 + 1 1 2 + 1 0 t 4

= u 3 2 3 2 0 t 4

= 2 . u 3 2 3 0 t 4

= 2 . ( t 4 ) 3 2 3 - 2.0 3 2 3

= 2 . t 6 3

Em seguida derivamos:

d d t 2 . t 6 3 = 2 3 . d d t   t 6

= 2 3 . 6 .   t 5

= 4 .   t 5

Passo 3

Agora iremos derivar direto usando o Teorema Fundamental do Cálculo:

d d t ∫ 0 t 4 u   d u = t 4 . t 4 '

= t 2 . 4 . t 3

= 4 .   t 5

Resposta

d d t ∫ 0 t 4 u   d u = 4 .   t 5

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

62- Trace o gráfico de y = l n ⁡ | sen ⁡ x | na janela 0x22 , - 2y0 . Explique o que vê. Como você alteraria a fórmula para que os arcos ficassem virados para baixo?
61- Trace em um mesmo gráfico ln ⁡ x , ln ⁡ 2 x ,l n 4 x , ln ⁡ 8 x , ln ⁡ 16 x (tantos quanto puder) para0x10 . O que acontece? Explique.
63- Trace em um mesmo gráfico y = s e nx e as curvas l n ⁡ ( a + s e nx ) para a = 2 , 4,8 , 20 e 50 para 0 ≤ x ≤ 23 .Por que as curvas se achatam à medida que a aumenta? (Dica: determine um limite su
65- A equação x 2 = 2 x apresenta três soluções: x = 2, x = 4 e outra. Calcule graficamente a terceira solução com a maior precisão possível.
Calcule a integral: ∫ 0 ln ⁡ 10 4s e n h 2 x 2d x