No Exercício   y = x ∫ 2 x 2   s e n   ( t 3 ) d t   , determine dy/dx

Passo 1

Para determinar o valor de d y d x vamos ter que derivar os dois lados da equação no enuciado, e se a gente observar um dos lados é uma integral. Nesse caso vai ser possível derivar diretamente a integral por meio do Teorema fundamental do Cálculo que tem a seguinte formula: d d x ∫ a b f ( x ) ⁡ d x = f b . ( b ) '

Passo 2

Com os dados acima já temos informação suficiente para começar os cálculos:

y = x ∫ 2 x 2   s e n   t 3 d t  

d y d x = d d x   x . ∫ 2 x 2   s e n   ( t 3 ) d t    

Após colocar a derivada dos dois lados basta aplicar a propriedade de derivação sobre multipilicação:

d y d x = x   . d d x   ∫ 2 x 2   s e n   ( t 3 ) d t   + ∫ 2 x 2   s e n   ( t 3 ) d t       . d d x   x    

= x . s e n   x 2 3 . x 2 ' + ∫ 2 x 2   s e n   ( t 3 ) d t   . 1

= x . s e n   x 6 . 2 . x + ∫ 2 x 2   s e n   ( t 3 ) d t  

= 2 x 2 . s e n   x 6 + ∫ 2 x 2   s e n   ( t 3 ) d t  

Resposta

d y d x = 2 x 2 . s e n   x 6 + ∫ 2 x 2   s e n   ( t 3 ) d t  

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