Determine a derivada da função y = 4x \* raiz(x + raiz(x))

Passo 1

Primeiro iremos aplicar a regra da multiplicação:

d y d x = d [ 4 x x + x ] d x = d ( 4 x )   d x   ⋅ x + x     + 4 x ⋅ d [ x + x ] d x

Passo 2

Para derivar o primeiro termo, podemos tirar o 4 da derivada porque é uma constante:

d ( 4 x )   d x = 4 ⋅ d ( x )   d x = 4

Passo 3

Já para o segundo termo, iremos usar a regra da cadeia. Derivamos de fora para dentro: primeiro derivamos a raiz de fora e depois derivamos o que sobra dentro da raiz:

d [ x + x ] d x = 1 2 ⋅ 1 x + x ⋅ d ( x   +   x ) d x

Passo 4

Como temos a derivada de uma soma, podemos reescrever como sendo a soma das derivadas:

1 2 x + x ⋅ d ( x   +   x ) d x = 1 2 x + x ⋅ d ( x ) d x + d ( x ) d x = 1 2 x + x ⋅ 1 + 1 2 x

Resposta

Juntando todos os termos:

d y d x = 4 x + x     + 4 x ⋅ 1 2 x + x ⋅ 1 + 1 2 x = 1 x + x ⋅ 4 ( x + x   ) + 2 x 1 + 1 2 x  

d y d x = 6 x + 5 x   x + x

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