Enunciado

Encontre a equação da reta tangente ao gráfico no ponto especificado:

y = x . cos ⁡ ( 3 x ) ,     x = π

Passo 1

Certo galerinha, primeira coisa a se saber aqui é como achamos a equação de uma reta qualquer?

y - y 0 = m x - x 0

Quando a reta é tangente ao ponto nós teremos que a inclinação é a derivada da função naquele ponto, matematicamente:

m = d y d x | x = π

Então primeiramente vamos achar d y d x .

Antes de qualquer coisa vamos chamar:

f x = x

g x = cos ⁡ ( 3 x )

E lembrando da Regra do Produto:

d y d x = g x . d f ( x ) d x + f ( x ) . d g ( x ) d x

Sabemos que:

d f ( x ) d x = 1

Agora nós só precisamos de d g ( x ) d x , e para facilitar nós vamos chamar:

u = 3 x

Então:

g u = cos ⁡ u

Lembrando da Regra da Cadeia:

d g ( x ) d x = d g ( u ) d u . d u d x

Já sabemos como achar a derivada, então vamos achar cada derivada separadamente.

Passo 2

Vamos começar por d u d x :

d u d x = 3

Agora vamos derivar g ( u ) em função de u :

d g ( u ) d u = - sen ⁡ u

E por fim:

d g ( x ) d x = - 3 sen ⁡ u

Substituindo u :

d g ( x ) d x = - 3 sen ⁡ ( 3 x )

E agora voltamos lá na Regra do Produto:

d y d x = cos ⁡ ( 3 x ) . 1 + x . - 3 sen ⁡ ( 3 x )

d y d x = cos ⁡ ( 3 x ) - 3 x . sen ⁡ ( 3 x )

Quando x = π :

d y d x | x = π = cos ⁡ ( 3 π ) - 3 π . sen ⁡ ( 3 π )

d y d x | x = π = - 1 - 0

Então:

m = d y d x | x = π = - 1

Passo 3

Bom, a inclinação nós já temos e agora?

Precisamos de x 0 e y 0 , certo?

Nós já temos que x 0 = π , então basta jogarmos na fórmula da função para achar o seu par:

y 0 = x 0 . cos ⁡ ( 3 x 0 )

Substituindo:

y 0 = π . cos ⁡ ( 3 π )

y 0 = - π

Lançamos tudo na equação da reta:

y + π = - 1 x - π

y = - x

E chegamos a tão esperada equação da reta tangente !!

Resposta

y = - x

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7 -42 Encontre a derivada da função.41. y = sen ⁡ tan ⁡ sen ⁡ x
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54. Suponha que w = u ∘ v e u 0 = , v 0 = 2 , u ' 0 = 3 , u ' 2 = 4 , v ' 0 = 5 e v ' 2 = 6 . Encontre w ' 0 .
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