Enunciado

Encontre a equação da reta tangente ao gráfico no ponto especificado:

y = sec 3 ⁡ π 2 - x ,     x = - π 2

Passo 1

Certo galerinha, primeira coisa a se saber aqui é como achamos a equação de uma reta qualquer?

y - y 0 = m x - x 0

Quando a reta é tangente ao ponto nós teremos que a inclinação é a derivada da função naquele ponto, matematicamente:

m = d y d x | x = - π 2

Então primeiramente vamos achar d y d x .

Antes de qualquer coisa vamos chamar:

u = π 2 - x

v = sec ⁡ u

E:

f v = v 3

E lembrando da Regra da Cadeia:

d y d x = d f ( v ) d v . d v d u . d u d x

Já sabemos como achar a derivada, então vamos achar cada derivada separadamente.

Passo 2

Vamos começar por d u d x :

d u d x = - 1

E agora d v d u :

d v d u = sec ⁡ u . tg ⁡ u

Agora vamos derivar f ( v ) em função de v :

d f ( v ) d v = 3 v 2

E por fim:

d y d x = 3 v 2 sec ⁡ u . tg ⁡ u - 1

Substituindo u e v :

d y d x = - 3 . sec 2 ⁡ u . sec ⁡ π 2 - x . tg ⁡ π 2 - x

d y d x = - 3 . sec 2 ⁡ π 2 - x . sec ⁡ π 2 - x . tg ⁡ π 2 - x

d y d x = - 3 . sec 3 ⁡ π 2 - x . tg ⁡ π 2 - x

Quando x = - π 2 :

d y d x | x = - π 2 = - 3 . sec 3 ⁡ π 2 + π 2 . tg ⁡ π 2 + π 2

d y d x | x = - π 2 = - 3 . sec 3 ⁡ π . tg ⁡ π

d y d x | x = - π 2 = - 3 . 1 c os 3 ⁡ π . sen ⁡ π cos ⁡ π

d y d x | x = - π 2 = 0

d y d x | x = - π 2 = 0

Passo 3

Bom, a inclinação nós já temos e agora?

Precisamos de x 0 e y 0 , certo?

Nós já temos que x 0 = - π 2 , então basta jogarmos na fórmula da função para achar o seu par:

y 0 = sec 3 ⁡ π 2 - x 0

Substituindo:

y 0 = sec 3 ⁡ π 2 + π 2

y 0 = sec 3 ⁡ π = 1 cos 3 ⁡ π

y 0 = - 1

Lançamos tudo na equação da reta:

y + 1 = 0 . x + π 2

y = - 1

E chegamos a tão esperada equação da reta tangente !!

Resposta

y = - 1

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