Encontre dy/dx:

y = [1 + sen^3(x^5)]^12

Passo 1

Muito bem, para derivar nós precisamos observar que existe uma função ( x 5 ) dentro de outra s e n que ainda está elevado ao cubo e se encontra ainda dentro de outra sendo elevado a 12 !!

Eita lasqueraa !!

Vamos começar chamando:

u = x 5

Então:

v = sen ⁡ u

E ainda:

w = 1 + v 3

E finalizamos com:

y = f w = w 12

Muito bem, já achamos u ,   v ,   w e f ( w ) . Agora precisamos achar d y d x , mas como?

Bem fácil:

d y d x = d f ( w ) d w . d w d v . d v d u . d u d x

Já sabemos como achar a derivada, então vamos achar cada derivada separadamente.

Passo 2

Vamos começar por d u d x . Então vamos derivar u com relação à x:

d u d x = 5 x 4

Agora vamos derivar v em função de u para achar d v d u :

d v d u = cos ⁡ u

Vamos agora achar a derivada de w em função de v :

d w d v = 3 v 2

E por fim vamos derivar f ( w ) em relação a w :

d f ( w ) d w = 12 w 11

Agora vamos colocar na derivada d y d x :

d y d x = 12 w 11 × 3 v 2 × ( cos ⁡ u ) × 5 x 4

Substituindo u ,   v e w :

d y d x = 180 x 4 . 1 + v 3 11 . sen 2 ⁡ u . cos ⁡ x 5

d y d x = 180 x 4 . 1 + sen 3 ⁡ u 11 . sen 2 ⁡ x 5 . cos ⁡ x 5

d y d x = 180 x 4 . 1 + sen 3 ⁡ x 5 11 . sen 2 ⁡ x 5 . cos ⁡ x 5

Nem foi tão difícil, não é?

Resposta

d y d x = 180 x 4 . 1 + sen 3 ⁡ x 5 11 . sen 2 ⁡ x 5 . cos ⁡ x 5

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