Determine a derivada de ordem n .

d) f(x) = ln x

Passo 1

Vamos derivar a função f x algumas vezes:

f ' = f x ' = ln ⁡ x ' = 1 x

f ' ' = f ' ' = x - 1 ' = - 1 x - 2 = - 1 x 2

f ' ' ' = f ' ' ' = - x - 2 ' = - - 2 x - 3 = 2 x 3

f 4 = f ' ' ' ' = 2 x - 3 ' = 2 - 3 x - 4 = - 6 x 4

f 5 = f 4 ' = - 6 x - 4 ' = - 6 - 4 x - 5 = 24 x 5

Passo 2

Parece haver um padrão nas derivadas, observe:

f 6 = f 5 ' = 24 x - 5 ' = 24 - 5 x - 6 = 5 ! x 6

f 7 = 5 ! x - 6 ' = 5 ! - 6 x - 7 = - 6 ! x 7

f 8 = - 6 ! x - 7 ' = - 6 ! - 7 x - 8 = 7 ! x 8

Percebeu? Então a derivada de ordem n será:

f n x = - 1 n + 1 n - 1 ! x n

Resposta

f n x = - 1 n + 1 n - 1 ! x n

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados